跪求高等数学中的解析几何问题

求圆锥曲线的方程和求指定圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考察学生看图、画图、数形结合、等价变换、分类讨论、逻辑推理、理性操作和思维创新的能力，较好地解决此类问题。命题者除了要求学生熟练掌握圆锥曲线的定义和性质外，还经常把它与对称性问题、弦长问题、最大值问题结合起来做难题。定义法和待定系数法是解决这类问题的常用方法。●难磁场1。(★★★★)双曲线=1(b∈N)。两个焦点F1，F2，P是双曲线上的一点，| op | < 5，| PF 65438+。②以X轴分为两个圆弧，弧长比为3∶1。在所有满足条件①和②的圆中，求圆心到直线L的距离最小的圆的方程:X-2Y = 0。●案例分析【例题1】电厂冷却塔的形状是如图所示的一条双曲线的一部分，它是绕其中心轴(即双曲线的虚轴)旋转而形成的。C和C′是冷却塔上口直径的两个端点，B and B′是下底直径的两个端点。已知AA′= 14m，CC′= 18m，BB′= 22m，塔高20 m，(1)建立坐标系，写出双曲线方程。π取3.14)。命题意图:本题通过选择合适的坐标系，考察建立曲线方程和求解方程的基础知识，考察运用所学的积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属于★★★★★★类。知识支持:用待定系数法解曲线方程；点在曲线上，点的坐标拟合方程；用积分法求体积。误差分析:建立合适的坐标系是解决这个问题的关键，积分求体积是这个问题的重点。技巧和方法:这道题第一题是用待定系数法求曲线方程，第二题是用积分法求体积。解法:如图，建立直角坐标系xOy，使AA’在X轴上，AA’的中点为坐标原点O，CC’和BB’平行于X轴。设双曲方程为= 1 (A > 0，B > 0)，则A = AA′= 7且设B (11，Y 1)，C (9，x2)因点B和C. Y2=8，b=7，故双曲方程为= 1。(2)由双曲线方程，x2= y2+49设冷却塔的体积为V(m3)，则V=π。经计算，V=4.25×103(m3) A:冷却塔的体积为4.25。焦点在X轴上、偏心率为的椭圆C与A、B两点相交，直线y= x通过直线AB的中点。同时椭圆C上有一点关于直线L与右焦点对称.试求直线L与椭圆C的方程.命题意图:本题利用对称性问题考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础较强，属于★★★★★★类。知识支持:待定系数法求解。如何处理直线与圆锥曲线，对称性，错题解析:不能恰当利用偏心，学生很容易出错。恰当利用对称性是解决这个问题的关键。技巧与方法:该题是典型的求圆锥曲线方程题。解法1，将A和B的坐标代入圆锥曲线方程，将两个方程相减，得到关于直线AB斜率的方程。解2，维耶塔定理。解1:由e=得到，使A2 = 2b2，C = B，设椭圆方程为x2+2y2 = 2b2，a (x1，y1)，b (x2，y2)在椭圆上。然后x12+2y655。(x 12-x22)+2(y 12-y22)= 0，设AB的中点为(x0，y0)，则kab =-，且(x0，y0)在直线y= x，y0= x0，所以-=-60。0)设L的对称点为(x '，y ')，从椭圆上的点(1，1-b)可以得到1+2 (1-b) 2 = 2b2，b2 =。∴期望的椭圆C. C = B .设椭圆c的方程为x2+2Y2 = 2b2，l的方程为y = k (x-1)。将L的方程代入C的方程，得到(1+2k2) x2-4k2x+2k2-2b2 = 0，则X1+。y 1+Y2 = K(x 1-1)+K(X2-1)= K(x 1+X2)-2K =-。若直线L: Y = X过AB()的中点，则不能在椭圆C上，故舍弃k=0，故k =-1，直线L的方程为y =-(x-1)，即y =-x+1，以下解法相同。【例3】如图所示，已知△P1OP2。求以直线OP1和OP2为渐近线，交点p为偏心率的双曲方程.命题意图:本题考查的是用待定系数法求解双曲方程，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于★★★★★★类。知识支撑:定分点的坐标公式；三角形的面积公式；而且点在曲线上，点的坐标适合方程。错题解析:利用偏心距恰当地求双曲线的渐近线方程是关键，学生很难正确表达△P1OP2的面积。技巧和方法:利用曲线上P点的面积和△P1OP2建立关于参数A和B的两个方程，从而求出A和B的值。∠P1OP2的角平分线为X轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为= 1 (a > 0，b > 0)，得到e2=。∴两条渐近线OP1和OP2分别为y= x和Y =-X设定点。-x2) (x1 > 0，x2 > 0)，那么除以点P形成的比值λ= =2，点P的坐标为()，点P在双曲线=1上，所以是(x1+2x2) 2。整理8x1x2=9a2 ①由①和②可知x1x2= ② a2=4，B2=9，所以双曲线方程为=1。●窍门是一般用已知曲线类型解曲线方程，可采用“先形，后式，再定量”的步骤。形状设置是指焦点的位置和二次曲线的对称轴。公式——根据“形”的形式，注意曲线系方程的应用，如椭圆时。等式可设为mx2+ny2 = 1 (m > 0，n > 0)。量化——从题目中的条件找到公式中具体系数的等价关系，通过解方程得到量的大小。●破坏难点训练1。选择题1。(★★★★★)已知直线X+2Y。那么m等于()a.3b.-3c.1d。-1 2.(★★★★)圆心在原点，焦点在坐标(0，+/-5)直线3x-y-2 = 0所截弦中点的横坐标为，则椭圆方程为()2。填空。(★★★★★)直线L的方程为y=x+3，取L上任意一点P，若过了点P，则取双曲线12x2-4Y2 = 3的焦点为椭圆的焦点。那么长轴最短的椭圆方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _。4.(★★★★)已知圆过点P(4，-2)和Q (-1，3)，Y轴上截的线段长度为4，则圆的方程为_ _ _ _ _ _。|MF|的最大值和最小值的几何平均值为2，在y=x的椭圆上有对称点M1和M2，且|M1M2|=。试求椭圆圆的方程。6.(★★★★)抛物线拱桥跨度20m，拱高4m，每4m修建一座。求最长的柱子的长度。7.(★★★★★)已知圆C1的方程为(x-2) 2+(y-1) 2 =，椭圆C2的方程为= 1 (a > b > 0)，C2的偏心率为，如果求直线AB的方程和椭圆C2的方程，参考答案。难的磁场是1。解析:设F1(-c，0(-c，0)，F2(c，0)，P(x，y)，则| pf 1 | 2 | PF2 | 2 = 2(| po∶pf 1 | 2+| PF2 | 2 =(| pf 1 |-PF2 |)2+2 | pf 1 | | PF2 |，根据双曲线定义，有| pf 1 |--根据已知条件，有| pf 1 | | | pf2 | = | f 1 F2 | 2 = 4c 2∴16+8 C2 < 50+2 C2，∴ C2