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当今社会科学技术飞速发展，数学已经渗透到各个领域，数学建模显得尤为重要。数学建模在人们的生活中起着重要的作用，而随着计算机技术的发展，数学建模在人类的活动中起着重要的作用，也更好地为人类服务。
一.数学模型
数学模型是针对现实世界中特定的对象和特定的目的，按照独特的内在规律，通过做一些必要的假设，使用适当的数学工具而形成的数学结构。
数学建模的一般步骤
建模的步骤一般分为以下几个步骤:
1.模型准备。首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。
2.模型假设。在明确建模目的和掌握必要数据的基础上，通过对数据的分析和计算，找出主要因素，经过必要的提炼和简化，提出一些符合客观实际的假设，从而突出问题的主要特征，忽略问题的次要方面。一般来说，如果不简化假设，很难将一个实际问题转化为数学问题，即使有可能，也很难解决。不同的简化假设会得到不同的结果。如果你做的假设过于详细，试图把复杂物体的所有因素都考虑进去，可能会让你很难甚至无法继续下一步的工作。通常情况下，做出假设的依据是基于对问题内在规律的认识，对数据或现象的分析，或者两者的结合。做假设时，不仅要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，还要充分发挥自己的想象力、洞察力和判断力。要善于分清问题的主次，牢牢抓住主要因素，摒弃次要因素，尽可能把问题线性化、同质化。经验在这里经常扮演重要的角色。写假设时，语言要准确，就像做习题时写已知条件一样。
3.模型构成。根据所做的假设和事物之间的关系，用适当的数学工具描述变量之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型，把问题变成数学问题。要注意尽量采用简单的数学工具，因为简单的数学模型往往能更好地反映事物的本质，也容易被更多的人掌握和使用。
4.模型求解。用已知的数学方法解决上一步得到的数学问题，往往需要进一步的简化或假设。当很难得到解析解时，也应借助计算机得到数值解。
5.模型分析。对模型的解进行数学分析。有时需要根据问题的性质来分析变量的依赖性或稳定性。有时需要根据得到的结果给出一个数学上的预测，有时也可能给出一个数学上的最优决策或控制。无论哪种情况，通常都需要分析误差、模型对数据的稳定性或敏感性等。
6.模型测试。分析得出的结果的实际意义，并与实际情况进行比较，看是否符合实际。如果结果不理想，应该修改、补充假设或重新建模。有些模型需要反复几次，不断完善。
7.模型应用。建立的模型必须在实践中应用才能产生效益，并在应用中不断改进和完善。应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的。简单来说，就是对系统的某一特征本质的数学表达(或用数学术语对某些现实世界的描述)，即用数学公式(如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等)来描述。)
随着社会、生物、医学、社会、经济的发展...，各个学科、各个行业都出现了大量的现实问题，迫切需要人们去研究和解决。然而，社会对数学的需求不仅仅是数学家和专门从事数学研究的人才，还要求各个部门从事实际工作的人善于运用数学知识和数学思维方法来解决每天面临的大量实际问题。实现经济效益和社会效益。他们不是为了应用数学知识去找实际问题(就像在学校做数学应用题一样)，而是为了解决实际问题而需要运用数学。而且，他们需要用到的不仅仅是数学，还有其他学科和领域的知识，工作经验和常识。尤其是现代社会，真正解决一个实际问题，几乎离不开计算机。几乎没有用现成的数学知识就能解决的问题。你能遇到的是数学和其他东西的混合体，不是“干净”的数学，而是“肮脏”的数学。数学之谜不是等着你去解开，而是藏在深处。也就是说，你要把复杂的实际问题分析出来，找出来。
数学模型具有以下特点:数学模型的一个重要特点是高度抽象。通过数学模型，可以将形象思维转化为抽象思维，从而突破实际系统的约束，利用已有的数学研究成果对研究对象进行深入研究。数学模型的另一个特点是经济性。利用数学模型进行研究可以节省大量的设备运行和维护费用。使用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机广泛使用的今天。但是，数学模型是有局限性的，在简化和抽象的过程中必然会造成一些扭曲。所谓“模型就是模型”(不是原型)就是指这个属性。
第二，数学建模
数学建模是用数学方法解决实际问题的一种实践。即把实际问题经过抽象、简化、假设和引入变量后，用数学方法表示出来，然后建立数学模型，再用先进的数学方法和计算机技术进行求解。简而言之，建立数学模型的过程称为数学建模。
模型是对客观实体相关属性的模拟。橱窗里展示的飞机模型应该看起来像真的飞机，是否真的能飞并不重要。但是参加航模比赛的飞机模型就完全不一样了。如果飞行性能差，外形看起来像飞机，就不能算是好机型。模型不一定是对实体的模仿，也可以是对实体的一些基本属性的抽象。比如一张地质图，不需要实物模拟，用抽象的符号、文字、数字就可以反映出该区域的地质结构。数学模型也是一种模拟，使用数学符号和数学。程序、图形等对实践题目本质属性的抽象而简洁的描述，它可能解释某些客观现象，或预测未来发展规律，或为控制某一现象的发展提供某种意义上的最佳策略或更好的策略。数学模型一般不是现实问题的直接复制，其建立往往需要人们深入细致地观察和分析现实问题。还要求人们灵活、熟练地运用各种数学知识。这种应用知识是从实际问题中抽象出来的，提取数学模型的过程称为数学建模。实际问题中的因素很多，你不可能也没有必要无一遗漏地全部考虑。你只能考虑最重要的因素，抛弃次要因素。当数学模型建立后，实际问题就变成了数学问题。你可以用数学工具和数学方法来解决这个实际问题。如果有现成的数学工具就好了。如果没有现成的数学工具，就会促使数学家去寻找和开发新的数学工具来解决，反过来又会促进数学本身的发展。比如开普勒从行星运动的观测数据中总结出开普勒三定律，牛顿试图用自己的力学定律来解释，但当时现有的数学工具还不够。这促进了微积分的发明。求解数学模型，除了数学推理，通常还要处理大量的数据，进行大量的计算，这在电子计算机发明之前是很难实现的。所以很多数学模型虽然从理论上解决了，但是由于计算量太大，得不到有用的结果，只能束之高阁。而电子计算机的出现和迅速发展，为用数学模型解决实际问题开辟了广阔的道路。现在，没有计算机几乎不可能真正解决一个实际问题。如果建立了数学模型，用数学或数值方法求解，就万事大吉了吗？不会，由于数学模型只能近似反映实际问题中的关系和规律，所以反映的好不好还需要检验。数学模型建立得不好，给定的实际问题描述得不对，再正确的数学解也是没用的。因此，在得到数学解后，要对结论进行检验，看是否合理可行等。如果不实用，就要想办法找出原因，修改原来的模型，重新求解、测试，直到更加合理可行，才能得到答案，可以先付诸实践。然而，没有完美的答案。或者暂时告一段落，以后有新的情况和要求后再做改进。
应用数学知识研究和解决实际问题，我们遇到的第一个任务就是建立一个合适的数学模型。在这个意义上，可以说数学建模是一切科学研究的基础。没有更好的数学模型，就不可能得到更好的研究结果。因此，建立更好的数学模型是解决实际问题的关键之一。数学建模综合运用各种知识解决实际问题，就是培养和提高学生学以致用分析和解决问题的能力。
三、数学建模的一般方法
建立数学模型没有一定的模型，但一个理想的模型应该反映系统的所有重要特征:模型的可靠性和可用性。
建模的一般方法:
1.机理分析
机理分析是基于对现实对象特征的认识，分析其因果关系，找出反映内在机理的规律。所建立的模型通常具有明确的物理或实际意义。
(1)比例分析——建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法。
(2)代数方法——解决离散问题(离散数据、符号、图形)的主要方法。
(3)逻辑方法——是研究数学理论的重要方法，对社会学和经济学都是实用的。
问题广泛应用于决策、对策等学科。
(4)常微分方程——求解两个变量之间变化规律的关键是建立“瞬时变化率”
的表情。
(5)偏微分方程——求解因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
2.测试分析方法
测试分析方法是将研究对象视为一个“黑箱”系统，不能直接寻求内在机理。通过测量系统的输入和输出数据，并以此为基础，利用统计分析方法，按照预定的标准从某一类模型中选出数据拟合最好的模型。
(1)回归分析——用于从一组观测值中确定函数的表达式(xi，fi) i = 1，2，...，函数f(x)的n。因为它处理的是静态的独立数据，所以被称为数理统计方法。
(2)时间序列分析——处理动态相关数据，又称过程统计法。
(3)回归分析，用于从一组观测值(xi，fi)i=1，2，…，n中确定函数f(x)的表达式，由于它处理的是静态的独立数据，所以称为数理统计方法。
(4)时间序列分析——处理动态相关数据，又称过程统计法。
将这两种方法结合起来，即通过机理分析法建立模型的结构，通过系统测试法确定模型的参数，也是一种常用的建模方法。在实际过程中，采用哪种方法进行建模，主要取决于我们对研究对象和建模目的的理解。用机理分析法建模的具体步骤大致见左图。
3.模拟和其他方法
(1)计算机模拟(simulation)——本质上是一种统计估计方法，相当于抽样检验。
①离散系统仿真——有一组状态变量。
②连续系统模拟——有解析表达式或系统结构图。
(2)因素测试法——对系统进行局部测试，然后根据测试结果不断分析修改，得到所需的模型结构。
(3)人工现实法——基于对系统过去行为和未来希望达到的目标的理解，并考虑到系统相关因素可能发生的变化，人为地形成一个系统。(参见:齐欢的数学模型方法，华中科技大学出版社，1996)
第四，数学模型的分类
数学模型可以用不同的方式分类。下面是一些常用的模型。
1.根据模型的应用领域(或学科)可分为:人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城市规划模型、水资源模型、可再生资源利用模型、污染模型等。更大的范畴形成了许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数理社会学等。
2.根据建立模型的数学方法(或数学分支)，可分为初始数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马尔可夫链模型、规划理论模型等。
在用第一种方法分类的数学模型的教材中，我们侧重于用不同的方法建立某一特定领域的模型，而在用第二种方法分类的书中，我们用现成的属于不同领域的数学模型来讲解一些数学技巧的应用。在本书中，我们重点讲述了如何应用读者已经掌握的基础数学知识在不同领域建立模型。
3.根据模型的性能特点，有几点:
确定性模型和随机模型取决于是否考虑随机因素的影响。近年来，随着数学的发展，出现了所谓的突变模型和模糊模型。
静态模型和动态模型取决于是否考虑了时间因素引起的变化。
线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，比如微分方程是否是线性的。
离散模型和连续模型是指模型中的变量(主要是时间变量)是离散的还是连续的。
虽然大多数实际问题本质上都是随机的、动态的、非线性的，但是确定性的、静态的、线性的模型很容易处理，往往可以作为解决问题的初步近似，所以在建模时往往首先考虑确定性的、静态的、线性的模型。连续模型易于用微积分求解进行理论分析，而离散模型易于在计算机上计算，所以使用哪种模型要看具体问题。在具体建模过程中，连续模型是分散的。
4.根据建模的目的，有描述模型、分析模型、预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
5.根据对模型结构的理解程度，有所谓的白盒模型、灰盒模型和黑盒模型。这是把研究对象比作盒子里的一个器官，通过建模来揭示其奥秘。白盒主要包括力学、热学、电学等一些机理相当清晰的学科所描述的现象，以及相应的工程技术问题。这方面的模型大部分已经基本确定。需要进一步研究的主要问题是优化设计和控制。灰箱主要是指在生态、气象、经济、交通等领域中机理不是很清楚的现象。，而且在不同程度上建立和完善模型还有很多工作要做。至于黑箱，主要是指生命科学和社会科学领域中机制(数量关系)不是很明确的现象。虽然有些工程技术问题主要基于物理化学原理，但由于诸多因素，关系复杂、不易观测等原因，往往被当作灰箱或黑箱模型。当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科技的发展，盒子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮。