如何用因式分解法解一元二次方程

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一。它在初等数学中应用广泛，是我们解决许多数学问题的有力工具。学习这些方法和技巧，不仅是掌握因式分解的内容所必需的，而且对培养学生的解题技巧和发展思维能力也有着非常独特的作用。初中数学教材主要介绍了提取公因子、利用公式、分组的方法。

(1)公因子法

(1)公因式:每一项的公因式称为这个多项式项的~。

②公因式的提取方法:一般来说，如果多项式的每一项都有一个公因式，可以把这个公因式放在括号外，把多项式写成因子积的形式。这种分解因子的方法叫做提取公因子。

am+bm+cm=m(a+b+c)

③具体方法:当所有系数都是整数时，公因数公式的系数应取所有系数的最大公约数；字母取每项的同一个字母，每个字母的索引取最低的度数。如果多项式的第一项为负，通常会提出一个“-”号，使括号中第一项的系数为正。

⑵运用公式法。

①方差公式:。a 2-b 2 = (a+b) (a-b)

②完全平方公式:a 2 2ab+b 2 = (a b) 2。

能用完全平方公式分解因子的多项式一定是三项式，其中两个可以写成两个数(或公式)的平方和，另一个是这两个数(或公式)的乘积的两倍。※ 。

③立方和公式:A 3+B 3 = (A+B) (A 2-AB+B 2)。

三次差分公式:a 3-b 3 = (a-b) (a 2+ab+b 2)。

④完全立方公式:a 3 3a 2b+3ab 2 b 3 = (a b) 3。

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a m+b m =(a+b)[a(m-1)-a(m-2)b+...-b (m-2) a+b (m-1)] (m是奇数)。

⑶分组分解法

分组分解:将多项式分组，然后分解因子的方法。

分组分解法一定要有明确的目的，就是分组后可以直接提取公因子或者使用公式。

(4)拆分和补充项目的方法

分解补充法:将多项式的一项分解或填充两项(或几项)彼此相反，使原公式适用公因式法、公式法或群分解法；需要注意的是，变形必须在与原多项式相等的原则下进行。

5]交叉乘法。

①x2+(p q)x+pq型公式的因式分解。

这类二次三项式的特点是:二次项的系数为1；常数项是两个数的乘积；线性项的系数是常数项的两个因子之和。所以我们可以直接分解一些系数为1: x 2+(p q) x+PQ = (x+p) (x+q)的二次三项式因子。

②kx2+MX+n型公式的因式分解

如果可以分解成k = AC，n = BD，AD+BC = M，那么

kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)

a \ - /b ac=k bd=n

c / - \d ad+bc=m

多项式分解的一般步骤。※:

(1)如果多项式项有公因子，那么先提公因子；

(2)如果没有公因子，那就尝试用公式和交叉乘法来分解；

(3)如果以上方法无法分解，可以尝试分组、拆分、添加条目的方式进行分解；

④必须进行因式分解，直到每个多项式因子都不能再分解为止。

(6)应用阶乘定理:若f(a)=0，则f(x)一定包含阶乘(x-a)。如果f (x) = x 2+5x+6，f(-2)=0，则可以确定(x+2)是x 2+5x+6的因子。

经典例子:

1.分解因子(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2。

解:原公式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)。

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2.证明对于任意一个数x，y，下面公式的值不会是33。

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解:原公式=(x ^ 5+3x ^ 4y)-(5x ^ 3y ^ 2+15x ^ 2y ^ 3)+(4xy ^ 4+12y ^ 5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

当y=0时，原公式= x 5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，33不能分成四个以上不同因子的乘积，所以原命题成立。

十二种因式分解方法

把一个多项式变换成几个代数表达式的乘积称为这个多项式的因式分解。因式分解有多种方法，总结如下:

1，公益事业法

如果多项式的每一项都包含一个公因子，那么可以提出这个公因子，这样多项式就可以转化为两个因子的乘积。

例1，因式分解因子x -2x -x(2003年淮安市中考)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、公式法的应用

因为因式分解和代数表达式乘法有倒数关系，如果把乘法公式倒过来，就可以用来分解某些多项式。

例2，因式分解因子a +4ab+4b (2003南通市中考)

解:a +4ab+4b =(a+2b)

3.分组分解法

对多项式am+an+bm+bn进行因式分解，可以先将其前两项分成一组并提出公因子A，再将其后两项分成一组并提出公因子B，从而得到a(m+n)+b(m+n)，我们也可以提出公因子m+n，从而得到(a+b) (m+)。

例3。分解因子m +5n-mn-5m

解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n。

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4.叉乘法

对于一个mx +px+q形式的多项式，若a×b=m，c×d=q，ac+bd=p，则该多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)。

示例4，因子分解因子7x -19x-6

分析:1 -3

7 2

2-21=-19

解决方案:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

5.匹配方法

对于那些不能用公式法的多项式，有的可以用它做一个完全平坦的方式，然后用平方差公式进行因式分解。

例5，因子分解因子x +3x-40

溶液x +3x-40=x +3x+() -() -40

=(x+ ) -()

=(x++)(x++)

=(x+8)(x-5)

6、拆除和添加方法

多项式可以分成几部分，然后进行因式分解。

例6:分解因子bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解法:BC(B+C)+CA(C-A)-AB(A+B)= BC(C-A+A+B)+CA(C-A)-AB(A+B)。

= BC(c-a)+ca(c-a)+BC(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7.替代方法

有时候在因式分解的时候，可以选择多项式的相同部分，用另一个未知数替换，然后因式分解，最后再转换回来。

示例7，因子分解因子2x -x -6x -x+2

解:2x-x-6x-x+2 = 2(x+1)-x(x+1)-6x。

=x [2(x + )-(x+ )-6

设y=x+，x [2(x+)-(x+ )-6。

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、根式法

设多项式f(x)=0，求其根为x，x，x，…x，...x，那么多项式可以分解成f (x) = (x-x) (x-x)...(x-x)。

例8，因式分解因子2x +7x -2x -13x+6

解法:设f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0。

根据综合划分，f(x)=0的根是-3，-2，1。

那么2x+7x-2x-13x+6 =(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)。

9.镜像法

设y=f(x)，作函数y=f(x)的图像，求交点x，x，x，…x，...x在函数图像和x轴之间，那么多项式可以分解成f (x) = f (x) = (x-x) (x-x)...(十

例9，因式分解x +2x -5x-6

解法:设y= x +2x -5x-6。

使其成像，如右图，与X轴的交点为-3，-1，2。

那么x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)。

10，主成分法

首先选择一个字母作为主元素，然后按照字母的个数从高到低排列项目，再进行因式分解。

示例10，因式分解因子a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

解析:本题可以选择A作为主元素，从高到低排列。

解法:a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)= a(b-c)-a(b-c)+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11，使用特殊值方法

将2或10代入X，求出数P，将数P分解为质因数，适当组合质因数，将组合后的各因数写成2或10的和与差，将2或10化简为X，从而得到因式分解。

示例11，因式分解因子x +9x +23x+15

解法:设x=2，则x+9x+23x+15 = 8+36+46+15 = 105。

105分解成三个质因数的乘积，即105=3×5×7。

注意多项式中最高项的系数是1，而3，5，7分别是x+1，x+3，x+5，当x=2时。

那么x+9x+23x+15 =(x+1)(x+3)(x+5)。

12，待定系数法

首先判断因式分解因子的形式，然后设置相应代数表达式的字母系数，求出字母系数，从而分解多项式因子。

示例12，分解因子x -x -5x -6x-4

解析:很容易知道这个多项式没有一次因子，所以只能分解成两个二次因子。

解法:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x+(a+c)x+(AC+b+d)x+(ad+BC)x+BD

所以解决方案是

那么x-x-5x-6x-4 =(x+x+1)(x-2x-4)

初学者因式分解的“四个注意”

因式分解最早出现在九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，初二上学期开始讲授，但其内容渗透到了整个中学数学教材中。学习它不仅可以复习高一代数表达式的四则运算，还可以为本书的下一章打下良好的基础。学好它不仅可以培养学生的观察能力、注意力和计算能力，还可以提高学生的综合分析和解决问题的能力。其中四个必须引起师生的高度重视。

因式分解中的四点散见于教材第5页和15页，可以用四句话概括如下:第一项常为负数，第一项为“公”，第一项为“公”，最后一项为1。下面举几个例子，供大家参考。

示例1因式分解-A2-B2+2AB+4。

解:-A2-B2+2AB+4 =-(A2-2AB+B2-4)=-(A-B+2)(A-B-2)

这里的“负”是“负号”的意思。如果多项式的第一项为负，一般需要提出一个负号，使括号中第一项的系数为正。防止学生出现-9 x2+4 y2 =(-3x)2-(2Y)2 =(-3x+2Y)(-3x-2Y)=(3x-2Y)等错误？韩爸拖着疤帘留着就算了？哎？螃蟹治愈？/p & gt；

比如例2中△ ABC的三条边A、B、C有如下关系:-C2+A2+2ab-2bc = 0，证明这个三角形是等腰三角形。

解析:此题本质上是对关系等号左边的多项式进行因式分解。

证明:∫-C2+a2+2ab-2bc = 0，∴ (A+C) (A-C)+2B (A-C) = 0，∴ (A-C) (A+2B+C) = 0。

∵a，b，c是△abc的三边，∴ A+2B+C > 0，∴ A-C = 0

即a = c且△abc是等腰三角形。

例3因式分解-12 x2 nyn+18xn+2yn+1-6 xnyn-1。解:-12 x2 nyn+18xn+2yn+1-6 xnyn-1 =-6 xnyn-1(2 xny3 x2 y2+1)。

“公”在这里的意思是“公因数”。如果多项式的每一项都包含一个公因子，首先提取这个公因子，然后进一步分解这个因子；这里的“1”是指当多项式的一整项都是公因式时，先提出这个公因式，不要漏掉括号里的1。防止学生出现诸如6p(x-1)3-8p 2(x-1)2+2p(1-x)2 = 2p(x-1)2[3(x-1)-4p。

例4在实数范围内因式分解X4-5x2-6。

解:x4-5x 2-6 =(x2+1)(x2-6)=(x2+1)(x+6)(x-6)。

这里的“底”是指因子分解，必须进行到每个多项式因子都不能再分解为止。也就是分解到最后，而不是半途而废。其中包含的公因子要一次性“干净”，不留“尾巴”，每个括号中的多项式不能再分解。防止学生出现4x4y 2-5x2y 2-9 Y2 = Y2(4x 4-5x 2-9)= Y2(x2+1)(4x 2-9)等错误。

从这个角度来说，因式分解中的四个注意贯穿了因式分解的四个基本方法，与因式分解的四个步骤或一般思维顺序的四句话是一脉相承的:“先看有没有公因式，再看能不能成立一个公式，试试十字乘法，群分解要合适”。

希望对你有帮助。