初中数学动点问题详解。
“动点问题”是指图形中有一个或多个动点，在直线、射线或圆弧上运动的开放性问题。解决这类问题的关键是在运动中求静。
关键:动中求静。
数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想
一、建立解析功能
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，动点问题体现了一种函数思想。由于点或图形的条件运动变化，引起未知量与已知量之间的变化关系。
首先，应用勾股定理建立分辨函数。
例1(上海，2000)如图1所示，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的圆弧AB上，有一个动点P,PH⊥OA，垂足h，重心△ OPH。
(1)当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中有长度相同的线段吗？如果有，请指出这样的线段，并找出相应的长度。
(2)设PH，GP，求的分辨函数，写出函数的定义域(即自变量的取值范围)。
H
M
普通
G
P
O
A
B
图1
(3)如果△PGH是等腰三角形，试求线段pH的长度.
解:(1)当点P在弧AB上移动时，OP不变，所以在线段GO、GP、GH中，有长度相同的线段，即GH= NH= OP=2。
(2)在∴.的Rt△POH
以Rt△MPH为单位，
。
∴= gp = MP =(0 & lt；& lt6).
(3)△PGH是等腰三角形。有三种可能的情况:
①当gp = pH时，得到解，是原方程的根，符合题意。
②当gp = GH时，得到解，是原方程的根，但不符合题意。
③当pH = GH时，。
综上所述，如果△PGH是等腰三角形，那么线段的长度PH为或2。
第二，应用比例公式建立分辨函数。
例2(山东，2006)如图2所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D和E在直线BC上运动。设BD= CE=。
(1)如果∠ BAC = 30，∠ DAE = 105，尝试确定和之间的分辨函数；
A
E
D
C
B
图2
(2)如果∠BAC的次数为0，而∠DAE的次数为0，当满足什么关系时,( 1)之间的分辨函数是否仍然成立？试着解释原因
解:(1) In △ABC，AB = AC，∠ BAC = 30，
∴∠abd=∠ace=105 ∴∠abc=∠acb=75。
∠∠BAC = 30，∠DAE=105，∴∠DAB+∠CAE=75，
∠ DAB +∠ ADB =∠ ABC = 75，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，∴，
∴ , ∴ .
O
●
F
P
D
E
A
C
B
3(1)
(2)因为∠DAB+∠CAE=，且∠DAB+∠ADB=∠ABC=，且函数关系成立，
∴ =，有组织。
那时，resolution function成立了。
例3(上海，2005)如图3(1)所示，在△ABC，∠ ABC = 90，AB = 4，BC = 3。点O是AC边上的一个动点，以点O的中心为半圆，与AB边相切，交线OC在e点。
●
P
D
E
A
C
B
3(2)
O
F
(1)验证:△ADE∽△AEP。
(2)设OA=，AP=，求关于的分辨函数，并写出其定义域。
(3)当BF=1时，求线段AP的长度。
解:(1)联动OD。
根据问题的意思，OD ⊥ AB，∴∠ ODA = 90，∠ ODA = ∠ DEP。
并且从OD=OE，我们得到∠ ode = ∠ OED。∴∠ ade = ∠ AEP，∴△ ade ∽△ AEP。
(2)∫∠ABC = 90，AB=4，BC=3，∴AC=5.∠∠ABC =∠ado = 90，∴∴od∥bc，，
∴OD=，公元=。∴AE= =。
∴∴△ade∽△AEP。∴ ( ).
③当BF=1时，
①如果EP交线CB的延长线在F点，如图3(1)，则CF=4。
* ade = AEP，∴∠PDE=∠PEC.∠∠FBP =∠DEP = 90，∠FPB=∠DPE，
∴∠F=∠PDE、∴∠F=∠FEC、∴CF=CE.
得到的∴5- =4，即AP=2。
②如果EP交线CB在f点，如图3(2)所示，那么CF=2。
类似于①，可以得到CF=CE。
∴5- =2，是的。
可以得到AP=6。
综上所述，当BF=1时，线段AP的长度为2或6。
第三，用求图形面积的方法建立函数关系。
A
B
C
O
图8
H
例4(上海，2004)如图所示，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC =，且⊙ A的半径为1。若O点在BC边上移动(与B点和C点不重合)，设bo =且面积BO=，△AOC为。
(1)求的分解函数，写出函数的定义域。
(2)以点O为圆心，以BO的长度为半径作圆O，求⊙O与⊙A相切时，
△AOC区。
解:(1)交点a为AH⊥BC，垂足为h
∵∠BAC=90，AB=AC=，∴BC=4,AH= BC=2。∴OC=4-。
∵ , ∴ ( ).
(2)①当⊙O和⊙A外切时，
在Rt△AOH，OA=，OH=，∴.
此时△AOC的面积=。
②当⊙O和⊙A内接时，
在Rt△AOH，OA=，OH=，∴.
此时△AOC的面积=。
综上所述，当⊙O与⊙A相切时，△AOC的面积为or。
二:动态几何问题
动态几何的特点——问题的背景是特殊图形，(特殊角度，特殊图形的性质，图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点。近年来我们考察了运动的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最大值。
一、以动态几何为主线的题目
(1)点动。
1.如图，中间，，，点在边上，以点为顶点，边相交于点，射线分别相交于点。
(1)当，求长度；
(2)当以点的中心长度为半径⊙与以点的中心长度为半径⊙相切时，
求长；
(3)当边的直径⊙与线段相切时，求长度。
【问题背景及辨别力测量点】
解:(1)证明∽ ∴，代入数据，∴AF=2.
(2)设BE=，然后用(1)的方法，
切线考虑两种情况:切线、切线和切线；
切。
当∴和⊙相切时，的长度为或。
(3)当边的直径⊙与线段相切时，。
(2)直线运动问题
在直角ABCD中，AB = 3，点O在对角线AC上，直线L穿过点O，与AC垂直相交。AD在e点(1)若直线L过B点，沿直线L折△ABE，A点与矩形ABCD的对称中心A '重合，求BC的长度；
A
B
C
D
E
O
l
一个
(2)若直线L与AB相交于F点，AO= AC，设AD的长度为，五边形BCDEF的面积为S.①求关于S的函数关系，指出的取值范围；
②探究:是否存在这样一个圆心为A，长度半径与直线L相切的圆，如果存在，求数值；如果不存在，请说明原因。
(1)∵A '是矩形ABCD ∴的对称中心A' B = AA' = AC。
∵AB=A'B,AB=3∴AC=6
(2)① , , ,
∴ ,
( )
②若圆A与直线L相切，则不存在这种情况，所以圆A与直线L相切.
(3)地表移动问题
如图所示，在、、中，分别是边和顶上的两个移动点(与、和不重合)，并保持它们，以边为该点不同边上的正方形。
(1)试验区；
(2)当边重合时，求正方形的边长；
(3)设与正方形重叠部分的面积为，求关于的函数关系，并写出定义域；
(4)当是等腰三角形时，请直接写长度。
解法:(1)。
(2)设正方形的边长为，则求解。
(3)什么时候，
当，。
(4) .
A
B
F
D
E
M
普通
C
已知:在△ABC中，AB=AC，∠B=30？，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF和EF分别与边BA和CA相交于点M和N。
(1)验证:△ BDM ∽△岑；
(2)设BD =,△ABC与△DEF重叠部分的面积为，求的分辨函数，写出定义域。
(3)当点M和N分别在边BA和CA上时，是否存在点D，使得以M为圆心，BM为半径的圆与直线EF相切，如果存在，则求X的值；如果不存在，请说明原因。
例1:已知⊙O的弦AB的长度等于⊙O的半径，C点在⊙O上变化(与A、B不重合)，求∠ACB的大小。
分析:C点的变化是否影响∠ACB大小的变化？我们不妨换c点，怎么换？它可以在上弧AB或下弧AB上变化。显然，两者的结果是不同的。那么，当C点在上弧AB上变化时，弧∠ACB是下弧AB，其大小是下弧AB的一半，那么自然会想到它的圆心角，连接AO和BO，那么因为AB=OA=OB，即三角形ABC是等边三角形，那么∠AOB=600，那么同一弧的圆心角等于。
当C点在下弧AB上变化时，与∠ACB相对的弧为最优弧AB，其大小为最优弧AB的一半，由∠AOB=600得到，最优弧AB的度数为3600-600=3000，则由与同一弧相对的圆心角和圆周角的关系得到:∠ ACB = 6500。
所以这个问题有两个答案，分别是300或者1500。
话题三:双动点问题
点动、直线运动、形状运动形成的问题称为动态几何题，主要以几何图形为载体，运动变化为主线，将多个知识点整合为一个问题。这类问题综合性强，能力要求高，能综合考察学生的实际操作能力、空间想象能力和分析解决问题的能力。其中，以灵活著称的双动分问题成为今年中考的热门话题。现在选取几个例子进行分类。
1以双动点为载体探讨函数图像问题。
例1(杭州，2007)直角梯形ABCD中，∠C = 90°，高度CD=6cm(如图1)。移动点P和Q同时从B点出发，点P沿BA、AD、DC移动到C点停止，点Q沿BC移动到C点停止，两点速度相同。q同时从B点开始。当经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2)。分别以t和y为横坐标和纵坐标建立直角坐标系。已知当点P在AD边上从A移动到D时，y和t的函数图像就是图3中的线段MN。
(1)分别求梯形中BA和AD的长度；
(2)写出图3中M和N两点的坐标；
(3)写出点P分别在巴斯德和DC一侧运动时Y和T之间的函数关系(注明自变量的范围)，完成图3中Y和X在整个运动中的函数关系的近似图像。
2.以双动点为载体探索结论的开放性问题。
例2(台州市，2007)如图5所示，Rt△A→B→C，∠ B = 90，∠ Cab = 30。它的顶点A的坐标是(10，0)，顶点B的坐标是(5，53)，AB=10。
(1)求∠保的度。
(2)当P点在AB上移动时，△OPQ的面积s(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图像是一条抛物线的一部分(如图6)，求P点的移动速度。
(3)求(2)中面积s与时间t的函数关系，以及面积s取最大值时点p的坐标。
(4)若P点和Q点保持(2)中的速度不变，当P点沿AB边移动时∠OPQ的大小随时间t的增加而增加；当沿BC边移动时∠OPQ的大小随时间t的增加而减小，当点P沿这两边移动时，有多少个点P使∠ OPQ = 90？请说明原因。
解(1) ∠ Bao = 60。
(2)点P的移动速度为2个单位/秒。
3.以双动点为载体探究存在问题
例3(扬州市，2007)如图8所示，在矩形ABCD中，AD = 3cm，AB = A cm(A >；3).移动点M和N同时从B点出发，分别沿B→A和B→C移动，速度为1cm/sec。过M时，一条直线垂直于AB，点AN和CD分别相交于P和Q。当N点到达终点C时，M点停止运动。设运动时间为t秒。
(1)若a = 4cm，t = 1秒，则PM = cm
(2)若a = 5cm，求制作△PNB∽△PAD的时间t，求它们的相似比；
(3)如果运动过程中有一个力矩使梯形PMBN和梯形PQDA的面积相等，求a的范围；
(4)有这样的长方形吗？是否存在梯形PMBN、梯形PQDA、梯形PQCN的面积都相等的时刻？如果存在，求a的值；如果不存在，请说明原因。
4.以双动点为载体，探索函数极值问题。
例4(2007年吉林省)如图9所示，在边长为82cm的正方形ABCD中，E和F是对角线AC上的两个动点，分别同时从A点和C点出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，EH垂直AC和Rt△ACD的交点E的直角边在H处；设F为FG在G处垂直于AC和Rt△ACD的直角，连接HG和EB。设he，EF，FG，GH围成的图形面积为S？1，AE，EB，BA围成的图形区域是S？2(这里规定线段的面积为0)。E到C，F到a就停了，如果E的运动时间是x(s)，回答以下问题:
(1)当0
(2)①如果Y是S？1和s？2、求y和x的函数关系；(图10是备用图)
②求y的最大值.
解(1)顶点为E，F，G，H的四边形是矩形。因为正方形ABCD的边长是82，所以AC=16。如果b是o中的BO⊥AC，OB=89。因为AE=x，S？2=4x，因为他=AE=x，EF=16-2x，所以s？1=x(16-2x)，当s？1=S？2，4x=x(16-2x)，解为x1=0(截断)，x2=6，那么当x=6时，s？1=S？2.
(2)①当0 ≤ x时
当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，ef = 16-2(16-x)= 2x-16，
所以s？1 =(16-x)(2x-16)，所以y =(16-x)(2x-16)+4x =-2 x2+52x-256。
②当0 ≤ x时
当8≤x≤16时，y =-2 x2+52x-256 =-2(x-13)2+82，
所以当x=13时，y的最大值是82。
综上，y的最大值是82。
点评此题是一个以双动点为载体，以正方形为背景创造的函数最大值问题。要求学生仔细阅读问题，理解问题的含义，画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其他相关变量的关系，进而构造面积的函数表达式。本题重点考查知识点中的二次函数极大值问题，要求学生具有扎实的基础知识、灵活的解题方法和良好的思维品质。在解题中注重数形结合、分类讨论、数学建模的灵活运用。
四:函数中移动点引起的相似三角形问题。
该示例如图1所示。已知抛物线的顶点为A(21)，过原点O，与X轴的另一交点为b。
(1)求抛物线的解析式；(由顶点得到的抛物线解析式为)
(2)若C点在抛物线对称轴上，D点在抛物线上，O、C、D、B四个顶点的四边形是平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA和AB，如图2所示。X轴下方的抛物线上是否有一点P，使得△OBP与△OAB相似？如果存在，求P点的坐标；如果不存在，说明原因。
示例1主题地图
图1
图2
分析:1。给定一个四边形的两个顶点时，要考虑连接这两个顶点的线是四边形的边和对角线的问题。有O、C、D、B四个顶点的四边形是平行四边形。要分两类讨论:OB的侧面和对角线。
2.函数中动点引起的相似三角形问题，一般有三种解决方法。
①求相似三角形的第三个顶点，首先要分析已知三角形的边和角的特征，然后得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中的已知边和已知三角形可能对应的边，对讨论进行分类。
(2)或者利用已知三角形中对应的角，利用勾股定理、三角函数、对称性、旋转等知识，推导出未知三角形中边的大小。
(3)如果两个三角形的边都没有给定，先设定待求点的坐标，然后用分辨函数表示各边的长度，再用相似度求解方程组。
好