在人教版数学二年级上学期找7道几何证明题。

首先，条件是开放和探索的

给出问题的结论，让问题求解者去分析和探索要使结论成立应该满足的条件，但满足结论的条件往往不是唯一的。这样的问题是一个开放性的问题。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追求，多方求索。这类题往往以基础知识为背景进行设计，主要考察解题者对基础知识的掌握和归纳能力。

例1，(俞希，2005)。如图8所示，已知AB = AD，∠ 1 = ∠ 2。为了使△ABC≔△ADE，需要添加的条件是(只填一个)。

解法:∠ B = ∠B=∠D或∠ C = ∠C=∠E或AC = AE。

例2，(长沙，2005)。如图，AB = AC，

要加的条件是_ _ _ _ _ _ _ _(只加一个条件)。

解:AD=AE或∠B=∠C或∠ADC=∠AEB。

例3，(金华，2005)

如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD = Be。

(1)请再加一个条件使△BEA≔△BDC，并给出证明。

您添加的条件是:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(2)根据你所加的条件，写出图中一对全等三角形:_ _ _ _ _ _ _(只需一对全等三角形，不加其他线段，不标注或使用其他字母，不需要写证明过程)。

提示:(1)≈BAE =∠BCD或∠AEB=∠CDB或AE=CD，证明略；(2)△ADC≔△AEC

例4(2005年福州课改卷)

已知:如图7，C点和D点在AB线上，PC = PD。

请加一个条件，使全等三角形存在于图中，并加以证明。

增加的条件是_ _ _ _ _ _，你得到一对全等的三角形是△_ _≔△_ _ _。

提示:增加的条件有:∠ A = ∠A=∠B(或PA = Pb或AC = BD或AD = BC或∠ APC = ∠ BPD或∠ APD = ∠ BPC等。).

全等三角形是△PAC≔△PBD(或△APD≔△BPC)。

证明:(略)

第二，结论具有开放性和探究性

给定问题的条件，问题解决者可以根据条件探索出相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，或者说相应结论的“存在”需要问题解决者进行情景推断，甚至需要问题解决者探索变化条件的结论。这些问题都是开放性问题，需要解题者充分利用条件进行大胆合理的猜测，发现规律，得出结论。这类题主要考察解题者的发散思维和对所学基础知识的应用能力。

例5(2005年安徽)。如图所示，已知AB ‖ DE，AB = DE，AF = DC。图中有几对全等的三角形？选择其中一个来证明。

解:图中有三对全等三角形，分别是△ABF≔△dec

△ABC≔△DEF，△BCF≔△EFC .

证明:∫ab‖de，∴∠ A = ∠ D

AB = DE，AF=DC，

∴△ABF≌△DEC。

例6(宁波，2005年)。如图，在△ABC，AB=AC中，交点A为GE‖BC，角平分线BD和CF相交于H点，它们的延长线分别相交于E点和G点。试找出图中三对全等三角形，证明一对全等三角形。

提示:△AGC≔△AFB。△AGF≔△DFD .△HBF≔△HDC .△AFC≔△ADB .简要证明

例7。(2005年常州)

如图所示，它被称为等边三角形，，，

它们在边上，在顶上，也是等边三角形。

(1)除了已知的等边，请猜猜还有哪些等边线段。

并证明你的猜测是正确的；

(2)你已经证明相等的线段怎么才能互相得到？

写出改变的过程。

提示:(1)AE = BF = CD；AF = BD = CE证明:(略)

(2)围绕E、D、F旋转，然后对折。

例8。(2005年马尾)两个全等的等边三角形△ABC和△ACD组合成菱形ABCD。在这个菱形上叠加一个60度角的三角尺，使三角尺的60度角的顶点与A点重合，两边分别与AB和AC重合。围绕a点逆时针旋转三角尺.

(1)当三角尺的两条边分别与菱形BC和CD的两条边相交于E点和F点时(如图13-1)，通过观察或测量BE和CF的长度，可以得出什么结论？并证明你的结论；

(2)当三角尺的两条边分别与菱形两边的延长线BC和CD相交于E点和F点时(如图13-2)，你在(1)中得到的结论还成立吗？简单说明原因。

解:(1) be = cf。

证明了在△ABE和△ACF中，∫∠BAE+∠EAC =∠CAF+∠EAC = 60，

∴∠BAE=∠CAF.

ab = ac，∠B=∠ACF=60 ,∴△ABE≌△ACF(ASA).

∴BE=CF.

(2)BE=CF仍然成立。根据三角形同余公理，也可以证明△ABE和△ACF。

例9。如图，A、B、C、D在同一直线上，AB = CD，DE‖AF，DE = AF。证明:△AFC≔△Deb。如果BD沿AD侧方向平行移动，如图所示，当B点与C点重合时，如图所示，当B点在C点右侧时，其他条件不变。如果没有，请说明原因。

证明:∫de af，∴∠ A = ∠ D，

ab = cd，∴ AB+BC = CD+BC，即AC = DB

在△AFC和△DEB中，

AC = DB，∠A=∠D，AF=DE，

∴△AFC≌△DEB.

示例11。如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB = CD，BC = DE，验证:AC ⊥ CE。如果CD沿CB方向平移，图(2) (3) (4)。请说明原因。

提示:可以证明△ABC≔△CDE，得到∠ ACB = ∠ E

∠∠ACB+∠ECD =∠E+∠ECD = 90，

∴∠ACE=180 -90 =90 ,∴AC⊥CE.

图(2)、(3)、(4)、(5)表明AC1⊥C2E仍然成立，证明同上。

示例12。如图(1)所示，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，AE是通过a的直线，b和c在AE的相对两侧，BD⊥AE在d中，CE⊥AE在e中，证明:(。(2)如果直线AE绕A点旋转到位置(2) (BD < CE)，其他条件不变。BD和DE和CE是什么关系？请证明它。(3)如果直线AE绕A点旋转到图(3)中的位置，(BD > CE)其他条件不变，BD与DE和CE是什么关系？请直接写结果，不需要证明。(4)总结(1)、(2)、(3)。请用简单的语言表达BD，DE，CE之间的关系。

证明:(1)∵BD⊥AE，CE⊥AE(已知)，∴ BDA = ∠ AEC = 90(垂直定义)。

∠∠BAD+∠CAE = 90，∠BAD+∠ABD=90，

∴∠CAE =∞∠Abd(同一角度的余角相等)

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE(AAS)，

∴ BD = AE，AD = CE(全等三角形的对应边相等)。

∵AE=AD+DE,∴AE=CE+DE，

∴BD=CE+DE.

(2) BD = de-ce，证明方法同(1)。

(3)BD=DE-CE。

(4)归纳(1)(2)(3)结论可以表示为:

当b和c在AE的对面时，BD = de+ce；当b和c在AE的同侧时，BD = de-ce；

注意:这个问题的关键是猜测动态几何中的量的规律，然后用几何知识证明。

22.如图，在10×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1。将△ABC向右平移4个单位得到△A'B'C '，再将△A'B'C '绕A '点逆时针旋转90°得到。

22.如图所示，正确地画出A A'B'c'。

正确地画出△‘B’C。

(注:A A'B'C '位置不正确，但在△'B'C的基础上画出正确的△A ' B ' C，得3分。)

三:战略开放与探索

策略开放性问题一般是指问题求解者找不到唯一解或解路径不清晰的问题。这类问题要求解题者标新立异，不落俗套，善于有所创新，追求一题多解，同时给予解题者广阔的思维空间。通过积极思考，创新探索，探索解题策略和思路，灵活运用解题思路和方法，优化解题方案和流程。

例13(2005年十堰课改卷)如图，△ABC已知。请加一个条件，写一个结论，证明你的结论。

增加的条件是:

已知:

验证:

证明:增加的条件是BD=CE。结论是∠ b = ∠ c。

证明了在Rt△BEC和Rt△CDB中，

BD = CE BC = BC

∴Rt△BEC≌Rt△CDB。

∴∠B=∠C

示例14。(扬州，2005)如图所示，在△ABC和△DEF中，D，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件。请选择其中三个作为题目，剩下的1作为结论，写一个真命题并证明。

①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF .

已知:

验证:

证明:

提示:答案不唯一，如已知:①②④；验证:③或已知:13④；验证:2。

24(漳州，2005)。如图，给出了五种等价关系:①AD=BC，②AC=BD，③CE=DE，④∠D=∠C，

⑤∠DAB=∠CBA .请以其中两个为条件，另外三个中的一个为结论，写一个正确的命题(只写一种情况)，并加以证明。

27.(此题9分)

如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，AE和Be相连，给出以下五个关系:①AD‖BC；②DE = CE；③∠1=∠2;④∠3=∠4;⑤ AD+BC = AB。以其中三个关系为题目，另外两个为结论，形成命题。(1)用序号写一个真命题(写作形式:若×××××，则×××),并给出证明:

(2)用序号写出三个真命题(不需要证明)；

(3)加分:真命题在四个以上。想好了可以多写真题，每多写一个真题给你1分，最高2分。

27.解:(1)如果123，那么45。

证明:如图，延长线从AE到BC到f。

公元前∴∠1=∠F

* aed = cef，DE=EC∴△ADE≌△FCE.

∴AD=CF,AE=EF

∠∠l =∠F，∠1=∠2。∠2=∠F

∴AB=BF∴∠3=∠4

∴AD+BC=CF+BC=BF=AB

(注:其他真命题的证明可按上述流程给分。)

(2)如果① ② ④，则③ ⑤

如果① ③ ④，那么② ⑤

如果是1315，那么就是24

(3)如果(1)(2)中的四个命题包含伪命题(“如果234，那么115”)，则不加分；如果(3)包含伪命题，则不加分。

21-(本题满分为8)如图，以下四个条件中，请以其中两个为已知条件，第三个为结论，推导出一个正确命题(只写一种情况)。

21.证明:条件1AE = AD AB = AC 2AB = AC∠B =∠C3AE = AD∠B =∠c。

示例15如图所示。已知AD = BC，AB = DC，DE = BF。试探究:BE和DF相等吗？。

解析:要证明BE = DF，就要证明△ABE≔△CDF，要证明这两个三角形是相同的。满足了两组条件，AB = CD。AD+DE = CB+BF，也就是AE = CF，再证明∠A = ∠A=∠C就行了。然后再观察∠ A和C。

从AD = CB，AB = CD的条件可以明显看出，如果BD是连通的，那么△ AB=CD和△CDB的条件已经满足，结论可以得到证明。

解决方法:相等。原因:

链路BD在△ABD和△CDB。

∴△ABD≌△CDB(SSS)

∴∠ A =∠ C(全等三角形对应的角相等)。

ad = cb，DE = BF(已知)，∴ AD+DE = CB+BF，即AE = CF

在△ABE和△CDF。

∴△ABE≌△CDF(SAS).

∴ be = df(全等三角形的对应边相等)。

注:(1)在解决相关问题时，我们经常会遇到已知条件和结论无法沟通的情况。这时候就需要加上辅助线，创造条件为结论服务。(2)用全等三角形证明线段相等或角相等，我们经常需要加辅助线来构造三角形。构造时有两种情况:①待证明的线段或角度不在图形上可能相同的两个三角形内。②有些符合条件的全等三角形不能直接显示在图形中，需要通过添加辅助线来寻找，比如本题中的△ABD和△ CDB。

例16。已知:如图，AB = AC，DB = DC

(1)如果E，F，G，H是各边的中点，则验证:eh = fg。

(2)如果链接AD和BC在P点相交，那么AD和BC的关系是什么？证明你的结论。

解:(1)证明:链接广告。

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD,∴∠ABD=∠ACD.

在△BEH和△CFG，

∴△BEH≌△CFG

∴EH=FG.

(2)AD垂直于BC并平分BC，

让AD和BC在p相遇。

∠ BAP =∠ CAP from (1)，

易正△BAP≔△cap，∴ Pb = PC，∠ APB = ∠ APC，

∠ APB +∠ APC = 180，

∴∠ APB = 90，所以AD⊥BC和公元平分公元前。

注:(1)全等三角形不仅可以得到等边和等边，还可以根据等边和等边进一步推导出图形的一些性质，如两条直线平行，两条直线垂直。在这种情况下，第一个同余提供了第三个同余的条件。由此可见全等三角形知识的工具性作用。

(2)通过前面的研究，我们可以看出，在全等三角形的证明相关问题中，经常涉及到以下两个基本图形:

第一类是关于角度的。如图，这三个图的* * *相同特点是两个三角形对应的一组角有“共同的* * *部分”。

第二类是关于边缘的，如图。

这三个图形的共同特点是两个三角形的一组对应边有“公共部分”。

熟练掌握这些基本图形的特征，把它们从更复杂的图形中分离出来，充分利用常见* * *的边或角之间的关系，有助于我们找到快速证明的方法。

示例18。温室里的一块三角形玻璃被破坏后，只剩下人影的阴影部分。你测完图中的数据后，就可以去建材销售部把符合规格的三角玻璃切割下来，并说明原因。

提示:测量∠ABC，∠DCB和直线BC，两个角和边决定了三角形的形状和大小。

示例19。如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 90°，且分别经过B和C的直线垂直，垂足为E和f。

(1)证明了若过A的直线不与斜边BC相交，则有EF=BE+CF，如图1所示。

(2)如图2所示，当通过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变。你能得出什么结论？请举证。

19.(1)证书△BAE≔△CAF；(2)EF=BE-CF .

例19已知零件外径为A，求其厚度X，需先求出内孔直径AB，制作简单工具，利用三角形同余求出AB。

指向:对于AB来说，是内孔的直径，无法直接测量，也不容易使其垂直，所以可以用SAS取中点的方法，这让人想起剪刀和钳子。这种方法可以用来测量AB，如图所示。

解决方法:可以设计一个如图5-70所示的钳子一样的工具，CD的长度是A和b之间的距离.

AB=a-2x。

四:场景开放与探索

给定问题的实际情况，要求问题求解者建立数学模型，寻求解决实际问题的实用方法，或利用数学设计各种方案，提供决策依据。这类问题叫情境开放，往往是基于实际情况或现实生活，涉及社会生产、科技、经济、数学本身。这类问题的答案就是创新本身，让学生在创造中发展应用数学的意识。

如图20所示，A和B位于一个池塘的两端。小丽想用绳子量一下A和B之间的距离，但是绳子不够长。你能帮她设计测量方案吗？如果没有，说明难点在哪里；如果可以，写一个计划，说明理由。

感悟:如果找到一根足够长的绳子，就可以直接测量。如果没有足够长的绳子，我们就在湖岸构造一个全等三角形，将AB“移动”到陆地上进行测量。把短绳量几下就行了。

解决方案一:可以。

测量方案:(1)首先，在陆地上取一个可以直接到达A点和B点的点；

(2)接AC，延伸到点D，使CD = CA

(3)连接BC并延伸到点E，使CE = CB

(4)连接DE并测量其长度。

如图5-105所示，DE的长度是A和b之间的距离.

原因:在△ABC和△DCE。

∴△ABC≔△DCE(SAS)。

∴公司。

解决方案二:可以。

测量方案:(1)在AB的垂直AF上取C、D两点，使CD = AC

(2)取D点作为AF的垂直DG，在DG上取E点使B、C、E点在同一直线上；

(3)测得的长度DE是A和B之间的距离，如图所示。

原因:链接b，c，e，

∵点B、C、E在同一直线上，

∴ ∠1=∠2,

* ab⊥af,dg⊥af，

∴ ∠BAC=90 =∠GDC。

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≔△dec(asa)。

∴公司。

解决方案三:可以。

测量方案:(1)派一个同学戴太阳帽，在A点立正；

(2)让学生调整帽子，使视线穿过“帽檐”，落在湖对面的B点上；

(3)同学转了一个角度，保持刚才的姿势，“帽檐”没动。此时他向外看，仍然让视线穿过“帽檐”，视线落下的位置是C点；

(4)接通AC，测量AC的长度，即A和b之间的距离，如图所示，为示意性侧视图。

原因:根据测量:∠ BDA = ∠ CDA。

* da⊥bc，

∴ ∠DAB=∠DAC=90。

在△ADB和△ADC中。

∴△亚行≔△ADC(asa)。

∴ AB=AC。

指点:生活中的实际问题往往不止一个解决方法。在选择具体方法时，要考虑具体情况。同样，我们用三角形同余来度量距离。方案3比较简单，但是我们要重复2-3次，然后取平均值，避免误差大。

例21在修建铁路的过程中，某铁路施工队需要打通一个山头，设计时要测量隧道的长度。山的前面只是一片空地。在这种有利地形下，测量人员能否利用三角形全等的知识来测量待开挖隧道的长度？说明真相。

指点:很难直接测出A和B。因此，我们可以利用山前的空地，构造两个全等的三角形，使与AB对应的一对边相等，然后测量对应边的长度，即可以得到AB的长度。

解法:方法:在空地上取一个能直达A点和B点的点O，将连线AO延伸到D，使OD = OA将连接BO延伸至e，使OE = ob。连接DE，测量它的长度，那么DE的长度就是A和B之间的距离，如图。

∴△AOB≌△DOE(SAS)？

∴ AB = DE(全等三角形，对应边相等)。

例22(2005年河南课改卷)，如图，是一条河，A点是对岸的一棵大树，B点是岸上的一根杆子，AB与河岸大致垂直。目前可用的设备有:一把卷尺和几根杆子。根据所学的数学知识，设计一个测量A点和B点距离的方案，并在图上画出图形和测量方法。

搂抱:很难直接测出A和B之间的距离，但如果用上题中的方法，就会出现这种情况:

得到的o点在河中央，很难得到；即使选择了O点，全等三角形中AB对应边CD的两点仍然在河的两边，与A和B的位置相同，所以这种方法不可取。要找到另一种方法在岸上制作相应的边缘，只需使用下面显示的方法。

解法:方法:在AB的垂线BE上取两点C和D，使CD = BC。设D点为BE的垂线DG，在DG上取一点F，使A，C，F在一条直线上。此时测得的DF长度就是A和b之间的距离。

理由:∵AB⊥BE，DG ⊥ BE ∴∠ B = ∠ BDF = 90。

∴△ABC≌△FDC(ASA)

∴ AB = DF(全等三角形的对应边相等)。

注意:要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言描述来判断方法。最明显的区别是第一种情况不是垂直的，用SAS证明同余；在第二种情况下，如果三角形是垂直的，将使用ASA来证明三角形的同余。当然，如果是特例，需要具体分析。

如图23所示，河中有一艘船A。在岸上设一条线段BC，再设两条射线Ba′和Ca′，这样∠CBA′=∠CBA，∠BCA′=∠BCA，这样通过测量A′B的长度就可以知道船到岸上B点的距离AB的长度，为什么？

提示:如果证明△BCA′≔△BCA，就会得到A′b = AB。

实施例24。(淮安市金湖实验区，2005年)

已知如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ ABC = ∠ ade = 900，试以标有字母的点为端点连接两条线段。如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，请写出并证明。

解法:第一种:链接CD和BE，得到:CD=BE。

∵△ABC≌△ADE,∴AD=AB,AC=AE

∠CAB =∠EAD；

∴∠cad=∠eab；

∴△ABE≌△ADC .

∴CD=BE。

第二种:连接DB和CE: DB‖CE，

∵△ABC≌△ADE,∴AD=AB,∠ABC=∠ADE，

∴∠ADB=∠ABD,∴∠BDF=∠FBD

类似地:∠FCE=∠FEC，

∴∠FCE=∠DBF，

∴DB‖CE .

第三种:链接DB和AF；找到af⊥b·d，

∵△ABC≌△ADE,∴AD=AB,∠ABC=∠ADE=90 .

并且AF=AF，∴△ADF≌△ABF，

∴∠DAF=∠BAF。

∴AF⊥BD .

第四种:连接CE和AF；找到AF⊥CE，

∵△ABC≌△ADE,∴AD=AB,AC=AE

ABC=∠ADE=90 .

并且AF=AF，∴△ADF≌△ABF，

∴∠DAF=∠BAF ,∴∠CAF=∠EAF .

∴AF⊥BD .

例25。(南京，2005)若P点绕定点M旋转180°后与Q点重合，则称P点和Q点关于M点对称，不动点M称为对称中心。此时，m是直线PQ的中点。

如图，在直角坐标系中，⊿ABO的顶点a，b，o的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)。点序列P1中的相邻两点，P2，P3，...都是关于⊿ABO:的一个顶点对称的

点P1和点P2关于点A对称，点P2和点P3关于点B对称，

点P3和P4关于点O对称，点P4和点P5关于点A对称，点P5

关于点B与点P6对称，关于点O与点P7对称，。对称的

中心是A，B，O，A，B，O，…，这些对称的中心依次跟随。

戒指。已知点P1的坐标为(1，1)，试求点P2、P7和P100的坐标。

提示:P2 (1，-1) P7 (1，1) P100 = (1，-3)。

例26(沈阳，2005)。(1)如图6，如何在网格纸中通过平移或旋转从图A得到图B，从图B得到图C(平移变换，要求回答平移的方向和距离；旋转变换要求回答旋转中心、旋转方向、旋转角度)；

(2)如图6，若点P和P3的坐标分别为(0，0)和(21)，写出点P2的坐标；

(3)图7是设计师设计的一部分。请用旋转变换的方法，将图形绕O点顺时针旋转90°，180°，270°，依次画出旋转后的图形。你会得到一个漂亮的图案，但是在底纹的时候不要涂错位置，否则就不会出现理想的效果。来试试吧！

注:网格纸中小正方形的边长为1个单位长度。