正常重力公式
1.用拉普拉斯方法表示正常重力位
图1-4计算地球正常重力公式的拉普拉斯方法坐标系
重力势的表达式实际上是不能直接应用的，因为我们不知道地球的密度分布和地球的确切形状，只能间接找到(图1-4)。由公式(1-5)可知，地球外一点的引力势P(ρ，θ，λ)为
勘探重力和地磁
从图中可以看出
勘探重力和地磁
ψ是点m和点p之间的角度，由此可以得到
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由于ρ>ρ’，上述公式展开为收敛级数。
勘探重力和地磁
上式是1/r的勒让德级数展开式，其中P0 (COS ψ) = 1，P1 (COS ψ) = COS ψ，，...诸如此类。
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取前n项说明其物理意义。当n = 0时
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设GM = A0，A0是与地球质量有关的零阶矩的量。当n = 1时，有
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如图1-5，θ，λ和θ′，λ′分别是P点和M点的球面坐标(θ为极距，即θ = 90-φ，φ为纬度，λ为经度)。在球面三角形的NMP，有
图1-5拉普拉斯法计算地球正常重力公式球坐标系。
勘探重力和地磁
将(1-23)代入(1-22)，设a1 = g ∫ mρ' cos θ' dm，= g ∫ mρ' sin θ' cos λ' dm。
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根据物理矩的概念，质体的质心坐标X0、Y0和Z0分别为
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其中m是质体的质量。此外，直角坐标和球面坐标之间的转换关系为
x =ρ’sinθ’cosλ’，y =ρ’sinθ’sinλ’，z =ρ’cosθ’=ρ’sinφ’
规则
因此
它们是与一阶矩相关的量。如果坐标原点选在球心，则x0 = y0 = z0 = 0，因此，即V1=0 = 0。
当n = 2时，有
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同理代入公式(1-23)，整理后得到。
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上式中，如果考虑坐标转换，可以写成
勘探重力和地磁
勘探重力和地磁
勘探重力和地磁
勘探重力和地磁
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以上系数A0，A1，A2等。被称为斯托克斯常数。
根据物理转动惯量的定义，我们可以得到
勘探重力和地磁
它们是地球相对于X，Y，Z三个坐标轴的转动惯量，所以
勘探重力和地磁
然后介绍d = ∫ mxydm，e = ∫ mxzdm，f = ∫ myzdm，d，e，f是地球的惯性积。如果坐标轴选在地球主惯性轴上，那么d = e = f = 0。在这种情况下，此外，积分
∫M(x2+y2)DM =∫M[(x2+z2)-(y2+z2)]DM = B-A
因此
如果地球是旋转体，也就是赤道是圆，那么a = b，此时，那么A2，都是与二阶矩有关的量。
这里只讨论V2。如果在公式(1-21)中，在公式(1-24)中，设COS θ = P1 (COS θ)，那么，θ COS θ =中的3s，Vn的一般形式可以写成如下。
勘探重力和地磁
其中:Pn(cosθ)是勒让德多项式；对于联想勒让德函数。将(1-27)代入(1-20)得到
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方程(1-28)是地球引力势的球函数展开式。再加上离心力势，得到地球重力势，也就是，
勘探重力和地磁
用拉普拉斯方法表示正常重力势，就是选取重力势球函数展开式中的前几项，省略其余项。当然，选取的项越多，越接近地球引力势w，但公式会变得更复杂。如果省略几项，公式简单，但可能与重力势w相差太大，不能正确反映地球重力势。在实践中，选择的项数取决于观测数据的精度和正常重力位所需的精度。这里，为了便于说明问题，在公式(1-29)的引力势展开式中，只选取前三项来表示正常引力势，所以正常引力势u可以表示为
勘探重力和地磁
如上所述，如果坐标原点设在地球的质心，然后坐标轴是地球的主惯性轴，那么如果把地球看成一个旋转体，那么a = b，此时公式(1-30)中所有与λ有关的项都消失了，再考虑A0 = GM，c-a = km，那么正常重力势可以写成如下。
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2.水平椭球体
设(1-31)等于不同的常数，会有一簇正常的大地水准面，其中一簇总是非常接近大地水准面。可以证明，如果只考虑地球扁率α的精度，其中A为地球赤道半径，C为地球极半径，其形状为正椭球。因为它具有正常大地水准面的性质，所以称为水准椭球，其方程推导如下。
假设用q来表示地球赤道上离心力与重力的比值，即μ称为地球的形状参数。
首先，简化公式(1-31)，其中:
勘探重力和地磁
在上面的公式中:
勘探重力和地磁
将这些简化公式代入公式(1-31)，我们得到
勘探重力和地磁
因为需要接近大地水准面的正常大地水准面(U0 =常数)的形状，所以在确定上述公式的常数时，取赤道上的一点。此时θ= 90°，ρ = a，用U0代替U，就会得到
勘探重力和地磁
完成后，使公式(1-32)等于公式(1-33)
勘探重力和地磁
公式中，μ和q都是微小量，通常只有1/300左右，也就是扁率的微小量。将上式的分母展开成级数，省略μ和q的平方及以上，则
勘探重力和地磁
这里必须指出，公式(1-34)只有当它是旋转椭球体，且其精度为α量级时才是正确的。如果要求其精度高于α阶，如果考虑α平方阶，则不是旋转椭球体，而是旋转扁球面。
3.正常重力公式
为了区分真重力g，用γ来表示正常重力值。按(1-13)
勘探重力和地磁
其中:n应为正常大地水准面的法线。但在公式(1-31)中，u是径向ρ的函数，径向ρ与n的夹角是地心纬度与地理纬度之差。这个差别很小。当地理纬度φ= 45°时，最大差值为11.6 '，可以忽略不计。因此，上面的公式可以写成:
勘探重力和地磁
从(1-31)导出ρ，整理后得到。
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将(1-34)代入上式，得到正常重力γ0:
勘探重力和地磁
把上面公式的分母展开成一个级数，只保持到α级，就会得到
勘探重力和地磁
如果α = μ+q/2，则上述公式变为
勘探重力和地磁
θ= 90°时，赤道上的正常重力γe为:
勘探重力和地磁
当θ= 0°时，极点处的正常重力γp为:
勘探重力和地磁
将极地重力值除以赤道重力值，得到
勘探重力和地磁
设β为重力扁率，可由(1-38)得到。
勘探重力和地磁
上面的公式叫做Clairau定理，表达了重力扁率和椭球扁率之间的关系。然后除以(1-35)和(1-36)得到
勘探重力和地磁
如果只考虑α星等，θ用90-φ代替，则
勘探重力和地磁
公式(1-40)只是二阶以内的球函数，正常重力公式是以扁率的精度推导出来的。但其精度较低，不能满足实际需要。为了达到相应的观测精度，至少要将(1-29)展开到四阶项(即n = 4)，推导过程中还要考虑扁率的平方项。用上述方法得到的形状不是水平椭球体，而是扁球体。扁平的球体对大地测量不方便。因此，在实际大地测量中，通常选择接近大地水准面的旋转椭球来计算正常重力场公式。根据这一要求，利用斯托克斯方法，索米利安推导出一个精度较高的公式，如下
γ0 =γe(1+βsin 2φ-β1 sin 22φ)(1-41)
其中:β1 = 1/8α2+1/4αβ。
当γp、γe和α已知时，可以得到计算不同纬度正常重力值的具体公式。多年来，如何确定这三个参数的具体值一直是重力科学家们一直在讨论的问题，给出了很多正常重力公式。比较常用的有:
(1)1901 ~ 1909赫尔默特公式。
γ0 = 9.780300(1+0.005302 sin 2φ-0.000007 sin 22φ)米/秒2 (1-42)
γ0是纬度φ、海拔零(即大地水准面上)的正常重力值。应用的地球参数为a = 6378200m，c = 6356818m，α = 1/298.2，γ E = 9.7803m/S2，以波茨坦为起点(g = 9.81274m/S2)。
(2)卡西尼的国际正常重力公式1930。
γ0 = 9.780490(1+0.0052884 sin 2φ-0.0000059 sin 22φ)米/秒2 (1-43)
1930年，在斯德哥尔摩国际大地测量协会，采用该公式作为国际正常重力公式，采用的地球参数为A = 6378388m，C = 6356909m，α = 1/297.0。
(3)1971国际正常重力公式
γ0 = 9.780318(1+0.0053024 sin 2φ-0.0000059 sin 22φ)m/S2(1-44)
采用的地球参数为A = 6378160米，C = 6356755m米，α = 1/298.25，γE = 9.780318米/S2。
(4)1979年，国际大地测量与地球物理联合会(简称IUGG)根据天文、陆地、重力和卫星资料确定了最精确的公式。
γ0 = 9.780327(1+0.0053024 sin 2φ-0.0000058 sin 22φ)米/秒2 (1-45)
采用的地球参数为a = 6378137m，α = 1/298.2572。
西欧和美国一般使用卡西尼斯的国际正常重力公式1930；苏联、东欧和中国使用的是赫尔默特的正常重力公式1901 ~ 1909。