解释建模的真正问题

1.1问题背景

随着世界体育运动的不断发展，如何在激烈的竞争中脱颖而出，一举夺冠，不仅需要运动员拥有超强的体能，还需要灵活的比赛技巧。

在铅球投掷比赛中，如何把铅球投得尽可能远，与投篮速度、投篮高度、投篮角度、手臂伸展等身体因素密切相关。所以，如何科学的投掷才能达到理想的效果，达到满意的效果，需要我们理性的分析。

关于1.2铅球的信息

在铅球投掷比赛中，要求运动员将重7.257kg的铅球投掷在一个直径为2.135m的圆圈内，如下图所示:

综合分析推铅球的运动过程可以分为两种情况:

1.在不考虑推铅球手臂伸展的情况下，以铅球速度、高度和角度为参数，建立了第一个数学模型。

2.考虑铅球的投掷臂，建立了以铅球速度、铅球高度、铅球角度和投掷臂为参数的第二个数学模型。

3.在整个推铅球过程中，空气阻力虽然一直存在，但其影响极小，所以忽略不计。

1.3需要解决的问题

问题1:以铅球的速度、角度、高度为参数，建立铅球投掷的数学模型。

问题2:通过考虑运动员在推铅球时张开双臂的动作来改进上述模型。

问题3:在此基础上，给定手的高度，针对不同的手速确定最佳手。

问题4:比较投掷成绩对投掷速度和角度的敏感度。

5.模型的建立和求解

5.1模型1建立

1.建立以速度、角度和高度为参数的抛掷模型；

铅球从a到b的时间:

……………… (1)

铅球最大高度:

………………(2)

铅球从H的高度落下的所有时间；

…………………(3)

铅球的水平距离:

5.2模型2的建立

1.当考虑运动员手臂伸展的情况时，我们建立了第二个模型:

在伸臂过程中，铅球受到推力和重力，并对铅球进行受力分析；

根据牛顿第二定律:

………………………(1)

根据上面的公式:

………………………………(2)

根据运动学公式:

………………………………………(3)

它可以从上面的公式中得到:

……………………(4)

上述公式进一步表明，手的速度与手的角度有关，随着角度的增大而减小。在第一模型中假设手速度和手角度彼此独立是不合理的。

同理，我们可以得到铅球出手后的距离:

5.3模型1的解决方案

1.在高度固定的情况下，我们考虑不同拍摄速度下的最佳拍摄角度，我们用Matlab7.0来解决这个问题。的求解过程如下:

设=0来计算的值。

因为，所以，那么。所以最佳拍摄角度是

同时，当h=0时，最佳拍摄角度为。

5.4敏感性分析

第一个和第二个模型是铅球投掷的数学模型。运动员最关心的是如何有效提高铅球投掷成绩，即如何从铅球高度、出手角度、出手速度三个自变量中把握主要因素来提高铅球投掷成绩。既然出手高度变化不大，那就要从出手角度和出手速度入手，找出对铅球投掷成绩影响较大的变量，也就是比较出手速度和出手角度的敏感度。

我们用Matlab7.0软件分别计算(已经计算过)和，就可以得到结果。

的推导过程如下:

通过Matlab7.0可以比较sum的大小，比较结果是>；因此可以得出结论，投掷速度的影响更明显。