数学高考

B)∈M，而对于M中的其他元素(c，d)，总有c≥a，则a = _ _ _。

解析:理解和揭示问题的数学本质，将是解决问题的突破口。如何理解“对于M中的其他元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素有什么特点？

解法:根据问题，这个问题相当于求函数x=f(y)=(y+3)？|y-1|+(y+3)

②当1≤y≤3时，

所以当y=1时，xmin = 4。

注意:集合的形式是在条件中出现的，所以要认清集合元素的本质属性，然后结合条件揭示其数学本质，即发现集合M中的元素满足关系。

例2。解决关于以下内容的不等式:

解析:本例题主要复习带绝对值不等式的解法和分类讨论的思想。这个问题的关键不是讨论参数，而是讨论去掉绝对值时的未知数，得到两组不等式。最后，将两组不等式的解集合并，得到原不等式的解集。

解决方案:何时

例3。已知三个不等式:① ② ③。

(1)如果①和②的值同时满足③，求m的取值范围；

(2)如果③的值满足①和②中的至少一个，求m的取值范围..

解析:本例主要复习代数式、分式不等式、含绝对值不等式的解法、数形结合的思想。解决这个问题的关键是找出同时满足①和②的值的充要条件是:③两个对应方程分别在和中。不等式与其对应的方程和函数图像密切相关。在解决问题的过程中，要及时联系它们的内在联系。

解法:记住①的解集是A，②是B，③是c。

解法①得到a = (-1，3)；B=对于溶液②

(1)由于①和②的值同时满足③，AB C。

假设小根小于0，大根大于等于3时可以满足方程。

(2)因为满足③的值满足①和②中的至少一个，因为

这个小根大于等于-1，大根小于等于4，所以

注:X值满足① ②满足③的充要条件如下:③对应的两个方程2x +mx-1=0分别在(-∞，0)和[3，+∞)以内，所以有f (0) < 0和f(3)≤0，否则A∩B中的所有X都无法计算。

例4。已知对于自然数A，存在一个系数为第一项的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根。证明A ≥ 5。

解析:回忆一下二次函数的几种特殊形式。设f (x) = ax+bx+c (a ≠ 0)。

顶点。f(x) = a (x-x)+f (x) (a ≠ 0)。这里(x，f (x))是二次函数的顶点，x =

))、(x，f(x))和(x，f(x))是二次函数图像上不同的三个点，则系数a、b和c可由下式给出

证明:设二次三项式为:f(x)=a(x-x )(x-x)，a ∈ n。

根据题意:0 < x < 1，0 < x < 1，x ≠ X .所以有。

f(0)>0，f(1)>0。

并且f(x)=ax -a(x +x )x+ax x是整系数二次三项式，

所以f(0)=ax x和f(1)=a？(1-x )(1-x)是正整数，所以f(0)≥1，f (1) ≥ 1。

那么f(0)呢？f(1)≥1。①

另一方面，

而且从x ≠x可知等号不同时成立，所以

由①和②可知，a > 16，且a∈N，故a ≥ 5。

说明:二次函数是一种应用广泛的函数，证明不等式问题往往很灵活。根据问题的条件恰当地选择二次函数的表达形式是解决这类问题的关键。

例5。设等差数列{a}的第一项a1>0 > 0，SM = Sn (m ≠ n)。问:它的第一项的最大和是多少？

分析:要得到前n项的最大和，首先要分析这个数列是递增数列还是递减数列。

解法:设等差数列{a}的容差为d，由Sm=Sn得到。

Ak≥0且AK+1 < 0。

(k∈N)。

说明:很多数学问题都可以归结为解一个不等式(组)。正确地列出不等式(组)，分析其解在具体问题中的意义，是得出合理结论的关键。

例6。若二次函数y=f(x)的像过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的值域。

解析:如果想要f(-2)的值域，只需要找到包含f(-2)的不等式(组)即可。因为y=f(x)是二次函数，所以你要先写出f(x)的表达式，然后就可以得到f(-2)的表达式，再根据条件列出包含f(-2)的不等式。

解法:因为y=f(x)的像经过原点，所以可以设为y = f (x) = AX2+Bx。因此

解决方案1(利用基本不等式的性质)

不等式组(ⅰ)是变形的

(I)所以f(-2)的取值范围是[6，10]。

解决方案2(数字和形状的组合)

建立直角坐标系aob，使面积由不等式组(I)表示，如图6阴影部分所示。因为f(-2)=4a-2b，4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系。如图6所示，当直线4a-2b-f(-2)=0穿过点A(2，

解决方案3(使用等式的思想)

f(-2)= 4a-2b = 3f(-1)+f(1)，以及

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，①

So 3 ≤ 3f (-1) ≤ 6。②.

①+②4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6 ≤ f (-2) ≤ 10。

注:(1)解不等式时，需要同解的变形。应避免下列错误解决方案之一:

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以5 ≤ f (-2) ≤ 11。

(2)解决这类问题的关键步骤是找到f(-2)的数学结构，然后根据其数学结构特征揭示其代数和几何本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法从不同角度解决同一问题。长时间这样思考问题，数学素养肯定会提高很快。

例7。(江苏2002)据了解，

(1)

(2)证明:任一的充要条件是；

(3)讨论:任意的充要条件。

证明:(1)根据题意，有。

(2)充足性:

必要性:对于任何

(3)

也就是

什么时候

例8。如果A > 0，B > 0，A3+B3 = 2。证明a+b≤2，AB ≤ 1。

解析:从条件a3+b3=2的结构和待证结论a+b≤2入手，可以联想到它们之间的内在联系，可以作为“桥梁”将两种方法联系起来，如差比较、均值不等式或构造方程。

证明方法1(对比比较法)

因为a > 0，b > 0，a3+b3=2，所以

(a+b)3-23 = a3+B3+3a2b+3ab 2-8 = 3a2b+3ab 2-6

= 3[ab(a+b)-2]= 3[ab(a+b)-(a3+B3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，

即(a+b) 3 ≤ 23。

证明2(平均不等式-综合法)

因为a > 0，b > 0，a3+b3=2，所以

所以a+b≤2，ab ≤ 1。

注:充分发挥“1”的作用，使其证明路径格外简洁美观。

证明3(构造方程)

设a和b是方程x2-mx+n=0的两个根。然后

因为a > 0且b > 0，m > 0，n > 0且δ = m2-4n ≥ 0。

so 2 = a3+B3 =(a+b)(a2-a b+B2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]= m[m2-3n]，所以

所以a+b ≤ 2。

从2≥m到4≥m2，且m2≥4n，所以4≥4n，即n ≤ 1。所以AB ≤ 1。

注:如果仔细观察不等式的结构，找到与所学知识的内在联系，就能找到顺利解题的突破口。

方法4(适当匹配)

因为a > 0，b > 0，a3+b3=2，所以

2 = a3+B3 =(a+b)(a2+B2-ab)≥(a+b)(2 a b-ab)= ab(a+b)，

所以有6≥3ab(a+b)，因此

8≥3ab(a+b)+2 = 3a2b+3ab 2+a3+B3 =(a+b)3，

所以a+b ≤ 2。(以下略)

即a+b ≤ 2。(以下简称)

证明方法6(反证法)

假设a+b > 2，那么

a3+B3 =(a+b)(a2-a b+B2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]> 2(22-3ab)。

因为a3+b3=2，所以2 > 2 (4-3ab)，所以AB > 1。

反之，2 = a3+B3 =(a+b)(a2+B2-ab)≥(a+b)(2 a b-ab)=(a+b)？ab>2ab，

所以ab < 1。②

所以①与②矛盾，所以A+B ≤ 2。

注:这个问题用六种不同的方法证明，都是证明不等式的常用方法。

例9。设函数f(x)=ax2+bx+c的图像与两条直线y=x和Y =-X异相。

解析:因为x∈R，如果|f(x)|的最小值存在，最小值由顶点决定，所以设f (x) = a (x-x0) 2+f (x0)。

证明:A ≠ 0。设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则

二次方程AX2+BX+C = X没有实根，所以

δ1 =(b+1)2-4ac < 0，

δ2 =(b-1)2-4ac < 0。

所以(b+1) 2+(b-1) 2-8ac < 0，即2b2+2-8ac < 0，即。

B2-4ac 1。

注:从上面的例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果根据问题的条件合理地采用不同形式的二次函数，那么就能找到有效的证明方法。

示例10。(Richard 2002)2006 54 38+0年末，一个城市的汽车保有量为30万辆。预计每年会有6%的上年末汽车保有量报废，每年的新车数量也是如此。为了保护城市环境，要求城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年应该增加多少辆汽车呢？

解:设2001年末汽车保有量为，然后每年年末汽车保有量为，每年增加1万辆汽车。

从问题的意思来看

示例11。已知奇函数

了解功能

解析:这是一道综合题，考查了大量的函数知识，通过适当的代入，将问题转化为闭区间内二次函数的最大值问题。

制造

制作

10时

30当

总而言之:

示例12。如图所示，隧道设计为双向四车道，总宽22米。通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5公里。隧道拱线近似视为半椭圆形。

(1)如果最大拱高h为6m，隧道设计的拱宽是多少？

(2)如果最大拱高h不小于6m，如何设计拱高h和拱宽，使半椭圆形隧道的土方量最小？

(半椭圆的面积公式为s=圆柱体的体积为:底面积乘以高，此题结果全部精确到0.1 m)

解析:本题是2003年上海高考，考查运用几何、不等式等解决实际问题的能力。

解:1)建立如图所示的直角坐标系，然后P (11，4.5)

椭圆方程是:

将b=h=6和点p的坐标代入椭圆方程。

因此，隧道拱宽约为33.3米。

2)从椭圆方程出发

因此，当拱高约为6.4米，拱宽约为31.1米时，土方量最小。

示例13。已知n∈N，n > 1。确认

解析:所要证明的不等式虽然是一个关于自然数的命题，但数学归纳法并不一定是用来观察其“形”的，它有很好的规律，我们不妨用构造数列的方法来解决。

规则

注:因为级数是一个特殊的函数，因为问题的数学结构，可以用函数的思想来解决。

示例14。已知函数

解析:本例主要复习函数和不等式的基础知识，以及绝对不等式和函数不等式的证明技巧。基本思想是将泛函不等式转化为代数不等式，利用绝对不等式和函数的性质。证明(1)重用二项式展开和基本不等式的证明(2)。

证明:(1)

当且仅当，上述公式带等号。

②、结论明显成立。

什么时候，

示例15。(2001国科)已知。

(1)

(2)

证明:(1)

以同样的方式；以类似的方式

(2)根据二项式定理，有

因此

。

第四，强化训练

1.已知非负实数，且，则最大值为()。

A.B. C. D。

2.已知命题P:函数的值域为R，命题Q:函数。

是一个减法函数。若P或Q为真命题，P和Q为伪命题，则实数A的值域为()。

a . a≤1 b . a & lt；2 c . 1 & lt；a & lt2 d.a ≤ 1或a≥2

3.求解关于> 0的不等式

4.求a和b的值，使得关于X的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集为:

(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3){2};(4)[-1,+∞).

5.解决关于的不等式

6.(2002北京话)系列是由以下条件决定的:

(1)证明:对于，

(2)证明:是。

7.设P=(log2x) +(t-2)log2x-t+1。如果t在区间[-2，2]内变化，P总是正值，试求x的变化范围.

8.在已知的系列中，

B1=1，点P(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上。

I)找到序列

ⅱ)设前n项之和为Bn，试比较。

ⅲ)设Tn=

动词 （verb的缩写）参考答案

1.解法:画一个像，可以从线性规划的知识中得到，选d。

2.解:当命题P为真，即实数部分可以得到所有大于零的实数，那么二次函数的判别式，由此；当命题q为真时，。

如果P或Q为真，P和Q为假，则P和Q中只有一个为真，另一个为假。

p为真，q为假，无解；如果p为假，q为真，则结果为1

3.解析:本题目主要复习了分式不等式的解法、分类讨论的思路以及利用序轴标准根法求解不等式的基本步骤。这个问题的关键是分解分母，把原来的不等式转化为

并比较总和与3的大小来确定分类方法。

解:原不等式转化为:

(1)当，从图1，我们知道不等式的解集是

(2)什么时候

(3)何时

4.解析:方程的根、函数的性质、图像与不等式的求解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化，互相沟通。

解(1)根据题意，A > 0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以

(3)从题意来看，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以

4a+2b+a2-1=0。①

而{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以

(4)根据题意，A = 0。B < 0，而-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以

a=0，b=-1。

解释:二次函数、二次方程、二次不等式之间有着密切的联系。在解决具体的数学问题时，要注意它们之间的相互联系和相互渗透，它们在一定条件下是会转化的。

5.解析:在解不等式时，换元法和图解法是常用的技巧。通过改变元素，更复杂的不等式可以分类为更简单的或基本的不等式。将构造函数与数形结合起来，可以将不等式的求解归类为直观生动的形象关系。对于带参数的不等式，图解法也可以使分类准则更加清晰。

解法:假设将原不等式转化为同一坐标系下的双函数图像。

因此(1)当

(2)

(3)当，原不等式的解集为φ。

综上，当，解集为)；当，解决方案集是

，解集为φ。

6.证明:(1)

(2)什么时候，

=

7.解析:显然需要根据题中设定的条件，找出包含X的不等式(组)，所以需要认真思考“当T在区间[-2，2]内变化时，P总是正的”的含义。怎么理解呢？如果难以继续思考，请换个角度思考。在给定的数学结构中，右边的公式包含X和T两个字母，T在给定的区间内变化，但你能想到的是X的取值范围？

解法:设P = f(t)=(log2x-1)t+log22x-2 log2x+1。因为p = f (t)在顶直角坐标系中是一条直线，所以当t在区间[-2，2]内变化时，p是正的充要条件。

Log2x > 3或Log2x

解释:改变问题的视角，构造一个关于t的线性函数，灵活运用函数的思想，把一个难题变成一个熟悉的问题。

8.解析:本题目主要复习关于数列的通项、求和、不等式的知识。

简要说明:ⅰ)

ⅱ)Bn = 1+3+5+…+(2n-1)= N2

ⅲ)Tn =①

②

①-②获取