如何证明这个数域是包含q和I的最小数域

单位:1=1+0i∈Q(i)

负元素:若a+bi∈Q(i)，则a，b∈Q，-a，-b∈Q，(a+bi)+(-a-bi)=0，负元素-a-bi∈Q(i)。

逆元:若a+bi∈Q(i)，则a，b∈Q，a/(a 2+b 2)，-b/(a 2+b 2) ∈ q。

[a/(a 2+b 2)-bi/(a 2+b 2)]*(a+bi)= 1，逆a/(a2+B2)-bi/(a2+B2)]

加法闭包:若a+bi，c+di∈Q(i)，则a，b，c，d，a+c，b+d∈Q，

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i∈Q(i)

乘法闭包:若a+bi，c+di∈Q(i)，则a，b，c，d，ac-bd，ad+bc∈Q，

(a+bi)*(c+di)=(AC-BD)+(ad+BC)I∈Q(I)

交换律、结合律、分布律是复数域中固有的运算规律。

所以Q(i)是复数域的一个子域，后面才证明是最小的，事实上是显而易见的。

设P是复数域中包含Q和I的子域P，对于任意有理数A和B，有A，B和I ∈ P，由于子域P的加法和乘法的闭性，a+bi∈P，Q(i)包含在P中，所以Q(i)是包含Q和I的最小子域。