高等数学:你不知道的出题规律和常见问题类型
高等数学:你不知道的出题规律和常见问题类型
一、高数命题规律
1)重点考查数字一和数字三的特有知识。考研数学有什么独特的知识？大模块包括空间解析几何、多元积分(三重积分、曲线积分、曲面积分)；数字三的独特知识包括经济应用和数列(与数字二相对)。比如2014的真题，考了切平面方程、斯托克斯公式、曲面积分；第三个测试边际收入和幂级数的和展开。
2)考察考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。说白了就是应用问题。比如上面提到的数字三在考研中的经济应用，数字二得到了质心。前者是导数的经济应用，后者是定积分的几何应用。
3)考点覆盖比较全。这提醒考生不要心存侥幸，不要忽视二级考点，要做好全面的复习。这和抓住重点并不矛盾。在这里，我们可以把马克思主义哲学的基本原理运用到考研政治中:全面复习和抓住重点的辩证统一。
二、常见问题
？向量代数与空间解析几何
1，理解向量的概念及其表示。
2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、叉积、混合积)，了解两个向量垂直平行的条件；掌握单位向量、方向数和方向余弦、向量的坐标表示以及用坐标表示进行向量运算的方法。
3、掌握平面方程和直线方程及其解法，会利用平面和直线的关系解决相关问题。
4.理解曲面方程的概念，理解常见二次曲面及其图形的方程，求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面和母线平行于坐标轴的圆柱方程。
5.了解空间曲线的参数方程和一般方程；理解空间曲线在坐标平面上的投影，求其方程。
？微分方程
1.求一类典型一阶微分方程的通解或特解:这类问题首先判别方程的类型。当然，有些方程并不直接属于我们所学的类型。这时候常见的方法是把X和Y对调或者做适当的变量代换，把原方程变成我们学过的类型；
2.求解可约方程；
3.求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解；
4.根据实际问题或给定条件建立并求解微分方程；
？无穷级数
1.确定级数的敛散性、绝对敛散性和条件敛散性；
2.求幂级数的收敛半径和收敛域；
3.求幂级数的和函数或几个级数的和；
4.将函数展开成幂级数(包括写出收敛域)；
5.将一个函数展开成一个傅立叶级数，或者如果已经给定了一个傅立叶级数，确定它在某一点的和(通常使用狄利克雷定理)；
？多元函数的积分
1.各种坐标下二重积分和三重积分的计算，以及重复积分的交换顺序；
2.第一类曲线积分和曲面积分的计算；
3.第二类(坐标)曲线积分的计算、格林公式、斯托克斯公式及其应用；
4.第二类(坐标)曲面积分的计算、高斯公式及其应用:
5.梯度、散度和旋度的综合计算；
6.双重整合，线面整合应用；求面积、体积、重量、重心、重力、变力功等。
？多元函数微分学
1.判定二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在，是否可微，偏导数是否连续；
2.求多元函数(特别是含有抽象函数的函数)的一阶、二阶偏导数和隐函数的一阶、二阶偏导数；
3.求二元和三元函数的方向导数和梯度；
4.求曲面的切平面和法向以及空间曲线的切平面和法向。这类题是多元函数微分学、向量代数、空间解析几何的综合题，要一起复习；
5.多元函数的极值或条件极值在几何、物理和经济中的应用；
6.求二元连续函数在有界平面区域的最大值和最小值。
？一元函数积分学
1.计算不定积分、定积分、广义积分；
2.关于变上限积分的问题:如求导、极限等。
3.关于积分中值定理和积分性质的证明问题:
定积分应用问题:
计算面积、旋转体体积、平面曲线弧长、旋转面面积、压力、重力、变力功等。
综合试题。
向量代数与空间解析几何
计算问题:
1.求向量的量积、叉积和混合积；
2.求线性方程和平面方程；
3.确定平面与直线的平行和垂直关系，求夹角；
4.建立旋转曲面方程；
与多元函数微分学在几何或线性代数中的应用相关的主题。
？一元函数微分学
1.求给定函数的导数和微分(包括高阶导数)、隐函数的导数和由参数方程确定的函数，特别是关于分段函数和有绝对值的函数的可微性的讨论；
2.利用罗必达定律求不定式的极限；
3.讨论函数的极值和方程的根，证明函数的不等式；
4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理证明相关命题，如“证明开区间内至少有一个满足……”，证明此类问题往往需要构造辅助函数；
5.最大值和最小值在几何、物理、经济等方面的应用。解决这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，确定讨论的区间；
6.用导数来研究函数的行为和描述函数图形，并求曲线渐近线。
？功能、限制和链接
1.求分段函数的复合函数；
2.求极限或已知极限，确定原公式中的常数；
3.讨论函数的连续性，判断不连续性的类型；
4.无穷小阶的比较；
5.讨论给定区间内连续函数的零点个数，或者判断方程在给定区间内是否有实根。
这部分会通过选择题，填空题，或者作为大题的一部分来考核。复习的关键是对这些概念有本质的理解，并在此基础上找到练习题进行强化。
三、如何判断自己掌握了知识点？
可以选一道考研真题，可能难度比较大，比较全面，但是分解后的考点都在大纲规定的考点之内，说明考研数学重在基础。
那么打好基础就能轻松应对考试吗？还不够，需要在此基础上总结方法。比如中值定理相关的证明题，很多考生都很头疼。在掌握了基本内容(闭区间上连续函数的性质，费马引理，罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理)(定理的内容可以完整表达，定理本身会被证明)之后，你可能会毫无头绪，不知道往哪个方向想。
知识从理解到应用是有一个过程的:理解不等于会用，应用还存在一个方向问题——应用在哪里？这时候真题的价值就显现出来了:真题是个好材料。通过对历年真题的分析总结，可以对真题的具体应用有一个直观的认识，对真题的命题思维有一个全面的了解。
也就是说，对于考研数学真题，通过“总结题型和方法”就可以知道该从哪个方向思考哪个题目。以中值定理的证明为例，如果总结到位，可以达到以下效果:当你得到一个这类问题时，一般可以从条件来思考，看看待证明的公式是包含一个中值还是两个中值。如果是一个，我们就看它是否包含导数。如果包含导数，就优先考虑罗尔定理，否则就考虑闭区间上连续函数的性质(主要是两个定理——介值定理和零点存在定理)。如果要证明的公式包含两个中值，考虑拉格朗日定理和柯西定理。
经过这篇干货，大家对高数的把握是不是大大加深了？找对方法技巧，数学对你来说不难！