二次函数练习(原版)
示例1。一名运动员在离篮筐4米的地方跳起投篮。球的轨迹是抛物线。当球的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。已知铁环中心到地面的距离为3.05米。
(1)建立如图直角坐标系，求抛物线解析式；
(2)运动员的身高是1.8m，这次跳投，球是在他头顶上方0.25m处出手的。
问:当球被释放时，他跳离地面多高？
简单的解决方案:
(1)由于抛物线的顶点是(0，3.5)，其解析式可设为y=ax2+3.5。因为抛物线经过(1.5，3.05)，所以得到a=-0.2。抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。
(2)当x=-2.5时，y=2.25。球释放时，其离地高度为2.25-1.8-0.25=0.20(米)。
点评:利用投球时球的轨迹、跳水时人体的轨迹、抛物线桥洞设计的二次函数的应用屡见不鲜。解决这类问题一般分为以下四个步骤:
(1)建立合适的直角坐标系(如题中给出，无需重建)；
(2)根据给定的条件，找出抛物线上的已知点，写出坐标；
(3)利用已知点的坐标，得到抛物线的解析式。①已知三点坐标时，可用通式y=ax2+bx+c求其解析式；(2)当已知顶点的坐标为(k，h)和另一点的坐标时，解析式可由顶点y=a(x-k)2+h得到；③当已知抛物线与X轴两交点的坐标分别为(x1，0)和(x2，0)时，可由二分公式y=a(x-x1)(x-x2)得到解析式；
(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题得以解决。
例2:某商场购买了一批生活用品，单价为16元。通过实验发现，如果以每件20元的价格出售，每月可以卖出360件，如果以每件25元的价格出售，每月可以卖出210件。假设每月售出的件数y(件)是价格x(元/件)的线性函数。
(1)试求y和x的关系；
(2)在不考虑商品积压等因素的情况下，每月利润最大的售价是多少？每月最大利润是多少？
解:(1)根据题意设y=kx+b，则有
所以y =-30x+960 (16 ≤ x ≤ 32)。
(2)月利润P=(-30x+960)(x-16)
=30(-x+32)(x-16)
= 30(+48-512)
=-30 +1920.
所以当x=24时，P有一个最大值，最大值是1920。
答:当价格为24元时，每月可获得最大利润，最大利润为1920元。
注:数学应用题来源于实践，用于实践。在当今社会市场经济环境下，我们应该掌握一些关于商品价格和利润的知识。总利润等于总收入减去总成本，然后用一个二次函数求最大值。
例3:体育考试，初三一个高个子男生铅球，已知铅球经过的路线是一个二次函数图像的一部分。如图，如果这个男同学手上的A点坐标是(0，2)，那么铅球路径最高点的B点坐标是(6，5)。
(1)求这个二次函数的解析表达式；
(2)男同学推铅球推了多远？(精确到0.01米，)
解法:(1)设二次函数的解析式为
，顶点坐标是(6，5)
A (0，2)在抛物线上。
(2)什么时候，
(无关，放弃)
(米)
a:该生推铅球13.75米。
例4。某商场以每件42元的价格购买一种服装。根据试销可知，该类服装的日销售量(件)可视为与每件销售价格(元/件)成线性函数:
1.写出该类服装在商场销售的日销售利润与每件销售价格之间的函数关系(日销售利润是指所售服装的销售价格与进价之间的差额)；
2.通过得到的函数关系式的公式指出，如果商场想每天获得最大的销售利润，每件最合适的销售价格是多少；最大销售利润是多少？
分析:一个商场的利润是由每件商品的利润乘以每天销售的数量决定的。
在这个问题中，如果每件服装的利润为()，售出的件数为(+204)，那么我们可以得到和之间的一个函数关系，它是一个二次函数。
销售所需的最大利润就是这个二次函数所需的最大值。
解:(1)从题意来看，每件的销售利润与销售价格的函数关系为
= (-42) (-3+204)，也就是=-3 ^ 2+8568。
(2)公式=-3 (-55) 2+507。
当每件销售价格为55元时，可获得最大利润，日销售利润最高为507元。
例5:跳水运动员进行10米的跳台跳水训练时，其身体(作为一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系中通过原点O的抛物线(图中标注的数据为已知条件)。跳一个规定动作时，一般情况下，空中最高处距离水面米，入水点到池边距离4米。在运动员离开水面5米之前，
(1)求这条抛物线的解析表达式；
(2)在一次试跳中，测得运动员在空中的运动路线为(1)中的抛物线，运动员在空中调整入水姿势时，离池边的水平距离为米。这次跳水会不会出现失误？
并通过计算说明原因。
解析:(1)在给定的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，需要确定抛物线上三点的坐标，如跳跃点O (0，0)，入水点(2，-10)，最高点的垂直点标为。
(2)找到抛物线的解析式后，就要判断跳水是否会错，即运动员在离泳池水平距离为米时，是否在水面以上5米。
解法:(1)在给定的直角坐标系中，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为。
从问题的意思我们知道O (0，0)，B(2，-10)，顶点A的纵坐标是。
求解或
∵抛物线对称轴在轴的右侧，∴
且∵抛物线开口向下，∴ A < 0，B > 0。
∴抛物线的解析式是
(2)当运动员在空中与池边的水平距离为100米时，
最终，
∴此时，运动员离水的高度是
所以这个跳水会出错。
例6。某服装经销商A库存进价为400元的A品牌服装1200套。正常销售时，每套600元每月能买1000套，刚好一年内售罄。现在市场上流行B品牌的服装。该品牌服装进价200元，售价500元，每月可购买1，20套(两套服装)。目前有机会进入B品牌。如果错过这个机会，估计一年之内这种服装就没有了。但经销商手头没有流动资金，只低价转让A品牌服装。与经销商B协商后，达成协议。转让价格(人民币/台)与转让数量(台)有如下关系:
转让数量(套)1200 100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100。
价格(人民币/台)240 250 260 270 280 290 300 365 438+00 320 330 340 350
方案1:既不转让A品牌服装，也不分销B品牌服装；
方案二:A品牌衣服全部转让，用转让的资金购买B品牌衣服后，B品牌衣服分销；
方案三:转让A品牌服装的一部分，用转让的资金购买B品牌服装后，同时发放B品牌服装和A品牌服装。
问:
(1)庄家A一年从期权1和期权2中获得多少利润？
(2)庄家A选择哪种方案在一年内获利最大？如果选择方案3，他转给经销商B的某品牌衣服的数量是多少(精确到100套)？这个时候，他一年赚多少？
解:经销商A的进货成本= = 48万元。
①如果选择方案1，利润为1200 600-480000=240000元。
如果选择方案二，转让费为1200 240=288000元，可以购买B品牌服装套装。如果只是一年内做空，可以获利1440 500-480000=240000元。
②如果转让X套A品牌衣服，转让价格为每套人民币，可以购买B品牌衣服，卖出所有B品牌衣服后获得人民币。此时A牌衣服还剩(1200-x)套，A牌衣服全部卖出后将获得人民币x=600(1200-x)，因此X = * *获利。
三、习题题:
1.某商场以每件30元的价格购买一件商品。在试销过程中，发现该商品的日销售量(件)与每件的销售价格(元)满足线性函数关系:
(1)写出每天的销售利润与商场每件商品销售价格之间的函数数关系。
(2)如果商场想每天获得最大的销售利润，每种商品最合适的价格是多少？最大销售利润是多少？
2.如图，一面紧贴学校围墙，另外三面用40米长的围栏围起来，形成一个40平方米的长方形花园。
(1)求:和之间的函数关系，求米为2时的值；
(2)设矩形的边长米满足矩形变成黄金矩形的关系，求黄金矩形的长和宽。
习题1答案:
当价格为42元时，最大销售利润为432元。
练习2答案:(1)
什么时候，
(2)如果①
(2)
从①和②的解中，
其中20个无关紧要，所以丢弃。
当矩形变成黄金矩形时，宽度为，长度为。
3.一个圆形喷泉将建在某个地方。喷泉中心垂直于水面安装一根花形柱OA，O正好在水面中心。置于a柱顶部的喷嘴向外喷水，水流沿抛物线路径向下流，各方向形状相同。在通过OA的任意平面上，抛物线形状如图，建立直角坐标系如图。水射流的高度和水平距离之间的关系如下。
请回答以下问题:
1.OA柱的高度是多少？
2.喷射的水离水平面的最大高度是多少？
3.如果不考虑其他因素，水池的半径至少要有多少米，才能让喷出的水不落到池外？
练习3答案:
(1)OA的高度是米。
(2)当，即水流离水平面的最大高度为米。
(3)
其中，是无关紧要的。
回答:水池的半径至少要有2.5米，这样喷出的水才不会落到池外。