高一函数真题。

* * * * * * * * * * (1)问题* * * * * * * * * * * * * * * * * *

解:∫a∈[0，π]，∴|sinA| = sinA ≥ 0

∴F(A)=新浪+sin(π/2 - A)=新浪+ cosA

但是，sin2A = 2sinAcosA = 1/3，

又来了，罪？A+cos？A = 1

∴(新浪+ cosA)？= 1+1/3 = 4/3

∴F(A) =新浪+ cosA = (2√3) /3

∫f(a)= Sina+sin(π/2-a)= 2 sin[(a+π/2-a)/2]* cos[(a-π/2+a)/2]。

= (√2)*cos(A- π/4)

但是，-π/4 ≤ A- π/4 ≤ (3/4)π。

∴当-π/4 ≤ A- π/4 ≤ π/2，即A∈[0，(3/4)π]，cos(A- π/4) ≥ 0。此时F(A) = (2√3) /3。

当a-π/4 > π/2时，即A∈( (3/4)π，π)，cos (a-π/4) < 0。这时F(A) =-(2√3) /3。

* * * * * * * * * * (2)问题* * * * * * * * * * *

解决方法:从问题(1)，

当x ∈[0，π]时，f(x)= sinx+sin(π/2-x)=(√2)* cos(x-π/4)。

同样，当x ∈(π，2π)时，

f(x)=-sinx+sin(π/2-x)= 2cos[(π/2-x+x)/2]* sin[(π/2-x-x)/2]

= (√2)*sin(π/4 - x)

= - (√2)*sin(x-π/4)

∫x∈[0，π]，x-π/4 ∈[-π/4，3π/4]

根据余弦函数性质，

当x-π/4 ∈ [-π/4，0)，即x ∈ [0，π/4)，F(x)=(√2)*cos(x- π/4)单调增加时，

当x-π/4 ∈ [0，3 π/4]，即x ∈ [π/4，π]时，F(x)=(√2)*cos(x- π/4)单调递减。

但是，当x ∈(π，2π)，x-π/4 ∈ (3π/4，7π/4]时。

根据正弦函数性质，

当x-π/4 ∈( 3π/4，3π/2)，即x ∈( π，7π/4)，sin(x- π/4)单调递减时，则F(x)=-(√2)*sin(x-π/4

当x-π/4 ∈ [3 π/2，7 π/4]，即x ∈ [7 π/4，2 π]，且sin(x- π/4)单调增加时，则F(x)=-(√2)*sin(x-π/4)。

综上所述，当x∈[ 0，π/4]∨(π，7π/4)时，原函数F(x)单调增加。

当x∈[ π/4，π]∨[7π/4，2π]时，原函数F(x)单调递减。