初中全国数学竞赛试卷
首次尝试
1.选择题:(此题满分42分，每小题7分)
1.如果它们都是整数并且满足，那么(b)
A.1。b . 2 c . 3d . 4。
2.如果实数满足等式，，那么可能的最大值是(c)。
A.0. B.1。C.2. D.3
3.如果是两个正数，和(c)
A.。乙。c。d。
4.如果方程的两个根也是方程的根，则的值为(a)。
A.-13.b-9。C.6. D. 0。
5.在△中，已知D和E分别是AB边和AC边上的点，，则(b)
A.15。b20。C.25D.30
6.对于自然数，其数字之和是，例如，，那么(d)
A.28062. B.28065. C.28067. D.28068
填空:(此题满分28分，每小题7分)
1.已知实数满足方程组，13。
2.二次函数的图像在A点和B点与正轴方向相交，在c点与正轴方向相交，若，，已知，则。
3.在等腰直角△ABC中，AB = BC = 5，P是△ABC内的一点，PA =，PC = 5，则Pb = _ _ _ _ _。
4.将若干个红黑球排成一排，要求两个球都出现，中间有五个或10个球的任意两个球必须是同色球。按照这个要求，最多可以放置_ _ _ _ 15 _ _个球。
第二个测试(一)
1.(此题满分为20)设整数()为三角形的三边长，并满足，求周长不超过30的三角形的个数。
这个解可以从已知的方程中得到。
①
顺序，那么，全部都是自然数。
然后，等式①变成，也就是
②
因为都是自然数，判断很容易知道，所以方程②只有两组:和。
(1)当，，是三角形三条边的长度，所以，也就是求解。而且因为三角形的周长不超过30，所以求解。所以你可以取4，5，6，7，8的值，相应的可以得到五个合格的三角形。
(2)当，，是三角形三条边的长度，那么，就是解。又因为三角形的周长不超过30，也就是解。所以你可以取2，3，4，5，6，7的值，相应的你可以得到六个合格的三角形。
一般来说，周长不超过30的三角形个数是5+6 = 11。
2.(此题满分为25)已知等腰三角形△ABC中∠C的平分线与AB边相交于P点，m为△ABC的内切圆⊙I的切点，为MD//AC，与⊙I相交于d点，证明PD⊙。
证明了点P的切线PQ(切点Q)是⊙ I，并加以延拓，交点BC在点n .
因为CP是∠ACB的平分线，∠ ACP = ∠ BCP。
并且因为PA和PQ是≥I的切线，所以∠ APC = ∠ NPC。
而CP是男* * *，所以△ACP≔△NCP，所以∠ PAC = ∠ PNC。
由nm = qn和ba = BC，所以△ qnm ∽△ BA=BC，所以∠ NM=QN = ∠ ACB，所以MQ//AC。
因为MD//AC，MD和MQ是一条直线。
点Q和D都在⊙i上，所以点Q和D重合，所以PD是⊙i的正切.
3.(此题满分为25)已知二次函数的图像经过两点P，q。
(1)如果它们都是整数，并且。
(2)设二次函数的像与轴的交点为A和B，与轴的交点为c，若方程的两个根都是整数，求△ABC的面积。
解点p和q在二次函数的图像上，所以，
求解，。
(1)由知得。
它又是一个整数，所以…
(2)设是方程的两个整数根，和。
从根和系数的关系，我们可以得到，消去，得到，
两边同时乘以9，得到，分解因子，得到。
所以或或或或或
求解或或或或或
也是整数，所以舍弃最后三组解，所以。
因此，二次函数的解析式为。
A点和B点的坐标分别为(1，0)和(2，0)，C点的坐标为(0，2)，所以△ABC的面积为。
第二个测试(b)
1.(此题满分为20)设一个整数是三角形三条边的长度，满足，求周长不超过30的三角形的个数(全等三角形只计算1次)。
解决方案可以是假设的，并且可以从已知的方程中获得。
①
顺序，那么，全部都是自然数。
然后，等式①变成，也就是
②
因为都是自然数，判断很容易知道，所以方程②只有两组:和。
(1)当，，是三角形三条边的长度，所以，也就是求解。而且因为三角形的周长不超过30，所以求解。所以你可以取4，5，6，7，8的值，相应的可以得到五个合格的三角形。
(2)当，，是三角形三条边的长度，那么，就是解。又因为三角形的周长不超过30，也就是解。所以你可以取2，3，4，5，6，7的值，相应的你可以得到六个合格的三角形。
一般来说，周长不超过30的三角形个数是5+6 = 11。
2.(此题满分为25)题型及解法同卷(a)第二题。
3.(此题满分为25)题型及解法同卷(a)第三题。
第二个测试(c)
1.(此题满分为20)题型及解法同卷(b)第一题。
2.(此题满分为25)题型及解法同卷(a)第二题。
3.(此题满分25)设它是大于2的质数，k是正整数。如果函数图像与X轴的两个交点中至少有一个横坐标是整数，求k的值.
根据题意，方程的两个根至少有一个是整数。
根据根和系数之间的关系，有
①
(1)如果，方程为，且有两个整数根。
(2)如果，那么。
因为是整数，如果至少有一个是整数，那么都是整数。
因为是质数，所以从公式(1)可以知道。
如果设置，则可以设置(其中m为非零整数)，这可以从公式(1)中得到。
因此，也就是。
再次，所以，这是
②
如果m是正整数，那么，，因此，与等式2相矛盾。
如果m是负整数，那么，，因此，与等式2相矛盾。
所以一个方程不可能有整数根。
综上所述，。