轨迹方程的典型例子

示例1。已知点Q是双曲线上不同于两个顶点的动点，F1和F2是双曲线的左右焦点。从F2点到∠F1QF2的平分线，用垂线F2P和垂足P求P点的轨迹方程.

解析:注意图形的几何性质，想到双曲线的定义，可以考虑用定义解轨迹方程。

解:如图，连线OP由角平分线的性质决定，

得到|AQ|=|F2Q|。

从三角形中线的性质，得出。

。

(如果Q点在双曲线的左支，应该是)。

也就是点的轨迹方程。∴P是。

例2:设运动圆C的对称轴平行于坐标轴，长轴长度为4，取Y轴为左准线。左顶点A在抛物线y2=x-1上运动，然后求这些椭圆的圆心C的轨迹方程。

解析:A点和C点是一对相关的点。试着用点C的坐标表示点A的坐标，用相关点的方法求解点C的轨迹方程。

解法:设圆心C的坐标为(x，y)，那么A的坐标为(x-2，y)，A在抛物线y2=x-1上运动。

∴y2=(x-2)-1，即y2=x-3，这是c的轨迹方程.

另外，问题也可以用参数法来解决。

∵左顶点A在抛物线上移动y2=x-1，

∴设A(t2+1，t)(t是参数)。

y=yA=t，①

∵2a=4,∴a=2,∴x=xA+2=t2+3.②

从①和②中消去参数t，则圆心C的轨迹方程为y2=x-3。

例3，如图，P为抛物线C:最后一点，直线L过点P，与抛物线C相交于另一点q，若直线L垂直于过点P的切线，求线段PQ中点M的轨迹方程。

解析:这是2004年全国高考(福建卷)的压轴题。根据题意直线L的方程可以用P的横坐标表示，所以我们选择P的横坐标作为参数，用参数法求解动点m的轨迹方程.

答:设P(x1，y1)和M(x0，y0)，其中x1≠0。

由，①

K-tangent =x1乘以通过点P的切线的斜率，

∴直线l的斜率，

直线l的方程是②。

联立① ②消去Y，就得到。

m是∴pq的中点

剔除x1，得到。

∴pq中点m的轨迹方程是。

另外，这个问题属于中弦问题，可以用点差法处理，探究x0和x1的关系。

设P2(x2，y2)，所以它由下式给出。

好吧，

然后，

把上面的公式代入②，整理出来。

∴pq中点m的轨迹方程是。

例4，已知常数a >0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O是AB的中点，点E，F，G分别在BC，CD，DA上移动，P是GE和OF的交点(如图)。有没有两个固定点，使得P到这两点的距离之和是一个常数值？如果存在，找出这两点的坐标和这个定值；如果不存在，请说明原因。

分析:这是一个探索性的问题。首先求解点P的坐标所满足的方程，然后据此判断是否有两个固定点，这样P到两个固定点的距离之和就是一个常数值。由于P是两条直线GE和of的交点，所以P的轨迹方程可以用相交法求解。

解法:建立以O为原点，AB为X轴的线性坐标系。

有a (-2，0)，b (2，0)，c (2，4a)，d (-2，4a)。

设(0≤k≤1)，

有e (2，4ak)，f (2-4k，4a)，g (-2，4a-4ak)。

的直线的方程是2ax+(2k-1)y=0，①。

直线GE的方程是:-a(2k-1)x+y-2a=0，②。

从①和②中消去参数k，发现点P(x，y)的坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0。

整理一下。

当时P点的轨迹是一条弧线，所以没有两个点符合题意。

此时，点P的轨迹是椭圆的一部分，从点P到椭圆焦点的距离之和为常数。

此时，从点P到椭圆的两个焦点的距离之和是一个恒定值。

此时，从点P到椭圆的两个焦点的距离之和是固定值2a。

例5。运动直线L通过定点A(2，0)，与抛物线y=x2+2相交于两个不同的点B和C，点B和C在X轴上的投影分别为B '和C '(如图)，P为直线BC上的点，满足关系| BP | | PC | =| BB '| | CC' |。

解析:该问题是一个复杂的轨迹综合问题，运动点G的位置取决于点P的位置，即P是G的相关点，P在运动直线L上，L绕不动点A(2，0)运动。如上所述，选择斜率k作为参数比较合理，对应点P移动时要满足这个比值，于是出现了另一个参数λ，这是一个多元参数。

解法:设直线L的斜率为k，显然，当L垂直于X轴时，L和抛物线不可能有两个交点，所以L的方程为y=k(x-2)。结合抛物线方程，消去y得到x2-kx+2+2k=0。

这个方程有两个不同实根的充要条件是=k2-4(2+2k)=k2-8k-8=0。

解决方案，或者。①

设B和C的坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，则x1+x2 = k，x1x2 = 2+2k。

设③设，根据定分点公式，有④设动点G的坐标为(x，y)，然后将④、③、②分别代入上式注意，

可用消去k的12x-3y-4 = 0 .

此外，在“可用”中，替换为①、de或。

得到解(并注明y≠4)。如果。

所以POA重心G的轨迹方程是12x-3y-4=0。

其中就有。

它表示除端点及其点之外的线段。

点评:在解决这一问题时，要充分注意轨迹方程中y的取值范围，这是最容易出错的，甚至可能出现根本没有找到k的取值范围，而误以为轨迹方程是12x-3y-4=0的情况。

例6:如图所示，给定不动点A(a，0)和直线L: x =-1，其中B为直线L上的动点，角∠BOA的平分线在C点与AB相交，求C点的轨迹方程，讨论方程所表示的曲线类型与A的值之间的关系.

解析一:借助相交法和参数法，利用角平分线上一点到角两边的距离相等的性质解题。

答案1:根据题意，注b (-1，b)和(b ∈ r)，则直线OA和OB的方程分别为y=0或y=-bx，若设C点(x，y)，则可得0≤x数据点到直线的距离公式。

因为C点在直线AB上，所以有。

从x-a≠0，得到。②.

将②代入①。

整理，拿，

若y≠0，则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2 = 0(0若y=0，则b=0，∠AOB=π，C点坐标为(0，0)，满足上式。

综上所述，C点的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2 = 0(0≤x(1)当a=1时，轨迹方程变为y2 = x (0 ≤ x

⑵当a≠1时，轨迹方程变为。

因此，当0是a & gt在1处，该方程表示双曲线的弧段。

解析二:借助双角正切公式解题。

解2:如图，设d为l和x轴的交点，设c为CE ⊥ X，e为垂足。

(1)当|BD|≠0，设定点C(x，y)时，则由CE//BD得到0。

∠∠COA =∠COB =∠COD-∠BOD =π-∠COA-∠BOD，2∠COA=π-∠BOD。

∴.

整理一下，拿过来。

(2)当|BD|=0且∠BOA=，C点坐标为(0，0)，满足上式。

结合(1)和(2)，C点的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2 = 0(0以下给出相同解。

解析三:由于C、A、B在一条直线上，而A、B在一条特殊的直线上，我们可以构造一个不动点的公式模型来解决这个问题。

答案3:设C(x，y)，其中0≤x∶oc除以∠AOB，∴，由此

由公式固定的得分点，即

使用b2并替换为，

简化一下。

以下是相同的解决方案。

点评:这个问题给出的三种解法，其实是从三个不同的角度审视问题的结果。这也说明，即使是一道难题，只要深入挖掘问题的各种知识背景，也完全有可能找到丰富多彩的解答，从而提高综合分析和解决问题的能力，增强解决问题的创新意识。

总之，在解决解轨迹方程的问题时，要注意这种方法的综合运用，有意识地观察图形的几何性质，合理选择参数，特别注意轨迹的完整性和纯粹性。

巩固练习

1.一个动圆外切两个圆x2+y2=1，x2+y2-8x+12=0，则动圆的中心轨迹是()。

A.圆b .椭圆c .双曲线的一个分支d .抛物线

3.已知点P在直线x=2上运动，直线L过原点与OP垂直，过点A(1，0)和点P的直线M与直线L相交求点q的轨迹方程.

3.如图，设A点和B点为抛物线y = 4px(p & gt；0)已知除原点以外的两个移动点，OA⊥OB,OM⊥AB.求点m的轨迹方程.

3.已知椭圆直线l:。p是l上的一个点，光线OP与椭圆相交于点R，点Q在OP上并满足| OQ ||| OP | = |或| 2。当点P在L上运动时，求点Q的轨迹方程，轨迹是什么曲线。

参考答案:

⒈C

⒉

⒊x2+y2-4px=0(x≠0)

点Q的轨迹方程为(其中X和y不同时为零)，其轨迹为以(1，1)为圆心的椭圆，长短半轴分别求和，长轴平行于X轴，去掉坐标原点。

解决数学应用题的方法

应用题是考察应用数学意识和能力的绝佳题型。其题材贴近生活，涉及知识面广，功能丰富。增加应用和能力题是高考改革的方向，解决实际问题成为高考热点。

答应用题是在阅读材料、理解题意的基础上，将实际问题抽象转化为数学问题，建立相应的数学模型，运用数学知识对数学模型进行分析和研究，然后将数学答案返回到实际问题中，得出实用结论。解决数学应用题的思路和方法可以用示意图来表示:

下面举几个常见的应用题数学模型的例子，以便拓宽学生的思路，得到一些启发。

1.建立功能模型。

示例1。某小区想建一个面积一平米的长方形绿地，四周都是小路。绿地长边以外的路径宽度为5米，短边以外的路径宽度为8米(如图)。绿地长边的长度最多28米，最少20米。对于给定的a(300≤a≤700)，如何设计绿地的长和宽，使绿地和路径的总面积最小？

解析:引入长边长度作为自变量X，建立关于总占地面积的目标函数X，然后利用函数性质和不等式知识求解。

答案:设绿地的长边为x米(x >；0)，短边为米，总面积为s平方米。

当且仅当上述公式中的等号成立时，等号成立的必要和充分条件是:

即250≤a≤490，300≤a≤700。

所以(1)当300≤a≤490时，立即，s有最小值，此时，长为，宽为米。

⑵当490≤a≤700时，设定。

。

这是因为20 ≤ x ≤ 28，a >: 490，使得28-x ≥ 0，16a >: 7840≥280x。

所以，当x=28时，s有一个最小值，注意这个时间。

点评:不等式的知识经常被用来解函数模型，有两点值得特别注意。第一，函数自变量的取值范围要考虑实际意义；第二，用均值不等式求函数的最大值时，需要检验等号是否能成立。

在制定投资计划时，我们不仅要考虑可能的利润，还要考虑可能的损失。

某投资者计划投资A、B两个项目，根据预测，A、B项目可能的最大利润率和可能的最大损失率分别为100%和50%，30%和10%。投资方计划投资金额不超过10万元，要求保证可能的资金损失不超过1。

解析:这是今年江苏高考的试题。总利润Z可表示为A、B两个项目的投资额X、Y的目标函数z(x，Y)，问题可转化为X、Y的约束条件(不等关系)最大化问题，借助线性规划知识求解。

答:假设投资人分别向A、B两个项目投资X万元、Y万元。

从问题的意思来看，

目标函数z = x+0.5y

上面不等式组表示的平面区域如图，阴影部分(包括边界)可以是行区域。

作直线l0:x+0.5y=0，作直线x+0.5y=z(z∈R)平行于直线l0，与可行域相交，其中一条直线经过可行域上的m点，与直线x+0.5y=0的距离最大。这里m点是直线x+y=10。

解方程，x=4，y=6。

此时z=4+0.5*6=7(万元)。∴当X = 4，Y = 6时，z达到最大值。

答:只有投资人对项目A投资4万元，对项目B投资6万元，才能在亏损不超过654.38+0.8万元的前提下，实现可能利润的最大化。

点评:这是一个线性规划问题，是运筹学中最基础的内容，中学知识就能解决。通常采用的方法有目标函数分析法和图解法。学生解决这类问题的主要困难是，他们不会将约束条件中的多个方程或不等式与预期目标进行交流。至于简单的线性规划问题，高中数学新教材中增加了这方面的内容，在复习过程中要注意一些。

3.建立序列模型。

例3:某市2001年末汽车保有量为30万辆，预计每年有6%的上年末汽车保有量报废，每年新车数量相同。为了保护城市环境，要求本市汽车保有量不超过60万辆，那么每年应该增加多少辆汽车呢？

解析:引入新车数量为未知量，以每年年末的汽车数量为一项建立数列模型，借助数列知识求解。

答:2001年末，汽车保有量为B1万。之后每年年底的汽车保有量是B20，000，B3，000，…，每年增加X，000辆，那么:

b1=30，b2=b1*0.94+x。

For n & gt1，其中bn+1 = bn * 0.94+x = bn-1 * 0.94 x2+(1+0.94)x，

……

当x≤1.8时，bn+1≤bn≤……≤b 1 = 30。

当，也就是x & gt在1.8处，

并且序列{bn}逐项递增，可以任意接近。

因此，如果要求汽车数量不超过60万辆，即bn≤60(n=1，2，3，...).

那么，也就是x≤3.6(万辆)。

综上所述，每年新车数量不要超过3.6万辆。

点评:求数列的通项是解题的关键。对于递归公式bn+1=bn*0.94+x，也可以化简如下:

另外，你要有一点极限知识。

为了保护三峡库区的生态环境，所有坡度大于25°的坡荒地都应进行绿化。据初步统计，三峡库区坡度25°以上的坡荒地面积约2640万亩。如果从2003年初开始造林，第一年造林6543.8+20万亩，以后每年造林60万亩。

(1)如果已经绿化的坡荒地全部绿化成功，库区的坡荒地什么时候可以全部绿化？

(2)如果平均每万亩造林苗木材量为0.1，000立方米，每年木材自然增长率为20%，那么当整个库区25°以上的荒地全部造林后，年底将有多少百万立方米木材？(保留小数位1，1.29 = 5.16，1.28 = 4.30)

解析:每一年的绿化面积都变成一个等差数列，一年的造林量使得以后几年的木材量都变成一个几何级数。

答:(1)若A1 = 120，D = 60，第n年后即可完成绿化任务。

。

解是n≥8。因此，到2010年，所有坡度大于25°的边坡都可以绿化。

⑵2010年初造林量为a8=120+7*60=540(万亩)。

设木材总量为s乘2010，根据题意:

订单(1)

两边乘以1.2(2)

②——①、∴S=6*90.6=543.6(万立方米)

答:截止到2010年底，共有木材543.6万立方米。

点评:解决数列相关的应用题，要仔细理解题意，是等差数列还是等比数列，是求某项还是求和，项数多少等等，然后根据相关结论进行计算和证明。

3.建立几何模型。

例5: A、B、C是我们的三个炮兵阵地。a在B的东面，距离6 km，C在B的西北30°方向，距离4 km。p是敌人的炮兵阵地。在某个时刻，在A中发现了敌方炮兵阵地的某个信号，由于B和C离A比P远，所以B和C用了4秒钟才同时发现这个信号(这个信号的传播范围是已知的)

解析:问题的关键是确定P点的位置，注意P点满足条件|PB|-|PA|=4，且|PB|=|PC|。结合双曲线的定义和垂线的性质，可以通过建立坐标系和使用解析几何模型来求解。

解法:如图，以线段AB的中点为原点，以BA所在的直线为X轴，建立直角坐标系，然后A (3，0)，B (-3，0)，C (-5，0)。

∵|PB|-|PA|=4，∴点p在以a和b为焦点的双曲线的右支上.

双曲线右支的方程是。①

|PB|=|PC|，∴点p在线BC的中垂线上，这条线的方程为。②.

把②代入①的11x2-56x-256=0，x=8或(减)，就可以得到。

又来了。

因此，P点在A点东北30°方向，即A地炮击P地的方位为东北30°。

例6。有一个圆柱形的桶，用来放乒乓球，内径(厘米)，高40厘米。直径4cm的乒乓球，桶里最多能放几个？

分析:要解决这个案例，需要完成两项任务。一个是计算水桶一层能放多少个乒乓球。要通过桶的内径和乒乓球的直径等数据和几何特征，以及第一层乒乓球在底面的投影来计算；二是计算桶里最多能放多少层球。计算第二个问题的关键是如何求两层乒乓球中心所在平面的距离。计算要转移到相邻两层球的中心提取的中心组成的几何体上。

解决方法:首先建立如图1所示的几何模型，其中⊙O1、⊙O2和⊙O3是半径为2cm且相互外切的三个圆，这三个圆都与⊙O相切，显然，O1O2O3是一个边长为4cm的正三角形。

因此，圆o的半径是∴。它的直径是(厘米)。因此，三个直径为4厘米的乒乓球可以放在内径为厘米的桶的内层。

在桶里放第二层球的时候，为了尽可能多的打乒乓球，可以考虑利用放第二层球的时候第一层乒乓球留下的空隙。所以二楼三个球的摆放位置要相对于一楼三个乒乓球的位置逆时针(或顺时针)旋转60°。二楼的六个乒乓球的球心可以看作正六棱柱下底面的三个顶点A1、B1、C1和上底面的三个顶点A2、B2、C2如图2所示，A2B2 =

设正六棱柱的边长和底面高分别为x和h，则A2B22=x2+x2-2x2cos120，

。

又来了。

这样就得到两层乒乓球中心所在平面之间的距离。如果n层乒乓球放在这个桶里，那么n应该满足:

正因为如此，(n-1)≤11，∴n≤12.

所以这个桶最多可以放12层乒乓球，每层三个，所以这个桶最多可以放36个乒乓球。

注释:在这个例子中，我们建立了两个几何变换。关键是建立一个正六棱柱(如图2)的几何模型，由桶内相邻两层的每个球的中心及其在另一层中心所在平面上的投影***12点组成。

除了上面列出的三个常用的应用题，还有其他的模型如三角形、排列组合、概率等。在学习过程中，要多思考，加强归纳总结，善于抓住主干，合理构建数学模型，不断提高数学的应用意识和应用能力。