2012江苏高考数学19题的第二个几何证明。

三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=√5，BC=4，在A1处底部ABC上的投影为线段BC的中点O。

(1)证明侧边AA1上有一点e，使OE⊥平面BB1C1C，求AE的长度；

(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。

(1)证明:∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=√5，BC=4，A1在底ABC上的投影为线段BC的中点O。

∴aa1// surface bb 1c 1c = = >facea1ao⊥face ABC = = & gt；bc⊥a 1ao = = >飞机；脸A1AO⊥脸BB1C1C

o是OE⊥AA1，AA1是e

∴OE⊥表面BB1C1C

连接OA，OA = √ (ab 2-ob 2) = 1。

a1o=√(aa1^2-oa^2)=2

oa^2=ae*aa1==>；AE=√5/5

(2)解析:求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦。

f区C1F⊥B1C跨C1，g区fg ⊥ B1C跨f，连接GC1。

∴∠GFC1是平面A1B1C与平面BB1C1C之间的平面角。

∵BB1C1C是矩形，∴ cc 1b1 = π/2。

在⊿CB1C1，b 1c = √( b 1c 1 2+cc 1 2)=√21。

b1c1^2=b1f*b1c==>；4^2=b1f*√21==>；B1F=16/√21

fc1=√(b1c1^2-fb1^2)=？4√5/√21?

从(1)A1O=2，OC=2，∴A1C=2√2.

在⊿A1CB1

cos∠a1cb1=(a1c^2+b1c^2-a1b1^2)/(2a1c*b1c)=(8+21-5)/(2*2√42)=6/√42

CF =√21-16/√21 = 5/√21

tan∠a 1cb 1 = GF/CF =√6/6 = = & gt；GF=5√14/42？

cos∠a 1cb 1 = CF/CG = 6/√42 = = & gt；CG=5/√21*√42/6=5√2/6

在⊿A1CC1

cos∠a1cc1=(a1c^2+c1c^2-a1c1^2)/(2a1c*c1c)=(8+5-5)/(2*2√10)=2/√10

CG=5√2/6

gc1=√(gc^2+cc1^2-2*gc*cc1*cos∠a1cc1)=√(50/36+5-2*5√2/6*√5*2/√10)

=√(55/18)?

在⊿GFC1

cos∠gfc1=(gf^2+fc1^2-gc1^2)/(2gf*c1f)=(25/126+80/21-55/18)/(2*5√14/42*√80/√21)

=√30/10