高中数学选修课教案1-1《变化率与导数》
本节内容选自课标实验教材A版，是衍生的开始。主要内容是变化率的问题和导数的概念。
导数是微积分中的核心概念，有着极其丰富的实践背景和广泛的应用。在本章的学习中，学生将了解导数，体验其中蕴含的思维方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这是一种逻辑严密、系统的建立概念的方法，但学生很难理解极限的形式定义，这也影响了他们对导数本质的理解。
课程标准教材不介绍极限的形式定义及相关知识，而是通过列表计算(其中包含极限的描述性定义)直观地把握函数的变化趋势。这种直观的方法包含了近似的思想，所以定义导数的优点如下:
1.使学生更加注重对导数本质的理解；
2.学生有丰富的直观基础，对逼近思想有一定的了解，有利于在大学初级阶段学习一个严格的极限定义。
基于以上分析，本课的教学重点是丰富学生的感性经验，引导学生运用逼近的方法探索和理解导数的思想和内涵。
二、目标和目标分析
1.通过例题分析，通过平均变化率到瞬时变化率的过渡，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率是导数，理解导数的思想和内涵；
2.通过动手计算培养学生的观察、分析、比较和抽象概括能力，体验近似的思维方法；3.体验从生活中的变化率抽象概括平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，服务于生活。通过概念形成的过程，我们可以了解从特殊到一般的数学思维方法。
三，教学问题的诊断与分析
1.吹气球是很多人的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，但如何从具体例子中抽象出数学问题的本质，是教好这一课的关键之一。对于吹气球问题，要用函数的观点分析变化过程中的自变量和函数值，自然引导学生建立半径r与体积v的函数关系；吹的过程中注意观察或想象，把实际操作翻译成相应的数学语言。比如，当吹入几乎相同的一口气时，说明气球的体积增量是相同的。
2.第一次用平均速度解决瞬时速度的问题，很难一下子做到。从平均变化率过渡到瞬时变化率？是这节课的难点；同时，这个问题涉及到什么？逼近思想，虽然学生在数学1？二分法？我在学习中接触过，但是不反复练习还是很难用，所以？接近思想渗透？探讨方法的应用将是这堂课的一个难点。
基于以上分析，本课的教学难点是:帮助学生理解气球的平均变化率和？探讨思维方法的应用。
四、教学支持条件的分析
在教学中及时运用信息技术，发挥信息技术的优势，帮助学生更好地理解1的概念。通过实物投射计算结果，学生可以积极参与课堂，保持高水平的思维活动。
2.通过几何画板演示，学生可以更直观、形象地理解概念。
五、教学过程设计
1.创设情境，引入新课
老师介绍:微积分的建立是数学发展的里程碑。它的发展和广泛应用开创了向现代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。在本章中，学生将通过大量的例子，经历从平均变化率到瞬时变化率描述真题的过程。那么，我们先来研究一下变化率的问题，引出新课。
设计意图:充分挖掘章节绪论的教学价值，它说明了三个问题:一是简要指出函数与微积分的关系；其次，概述了微积分的历史和现状。第三，总结本章的学习内容。
2.例题探究，引出概念
问题1:你可能有过吹气球的经历。在吹气球的过程中可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。这个过程中的自变量和函数值分别是谁？试着建立它们之间的函数关系，如何从数学角度描述上述变化过程？
设计意图:通过分析生活实例，提炼出数学模型，为归纳函数平均变化率的概念提供具体背景。
师生活动:回忆吹气球的过程(或让学生现场吹气球)，建立关于体积v的半径R的字母。
数关系:r(V)？
r(V2)？r(V1)
。通过观察和计算，以上现象用数据解释，用几何画板演示，比较真实。
V2？V1
感受以上现象。图1直观地演示了当球的体积增大时(黑色部分的面积变大，绿色部分变细)，半径变得越来越小。图2演示了当A点和B点向右移动时，自变量的增量保持不变，但平均变化率越来越小。
图1
问题2:怎样才能更准确的描述运动员的运动状态？
设计意图:分析实例，抽象数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供另一个重要背景，使学生初步感受到平均变化率的不足，激发学生进一步探索新知的欲望。
师生活动:
问题2
v中平均变化率的计算公式？
h(t2)？h(t1)
t2？t1
并借助几何作图给出直观的解释。
3.分析归纳，得出概念。
问题3:比较问题1和问题2中平均变化率的计算公式，它们有什么相似之处？如何计算一般函数f(x)的平均变化率？
设计意图:让学生结合两个例子，比较分析，抽象概括一般形式，体验从特殊到一般的数学过程。
师生活动:学生讨论、分析、总结。根据前面的例子，我们可以得出一个结论:
f(x2)？F(x1)称为函数F(x)从x1到x2的平均变化的定义:一般在函数y=f(x)中，公式为21f(x2)？f(x1)？那么，利率是多少？
x2？x1？x
其中△x和△ y的值可以是正的，也可以是负的，但△x的值不能是0，△ y的值可以是0。
x？x
如果函数f(x)是常数函数，△ y =0。变体:
f(x)？f(x)f(x x)？f(x)
？
x？x？x
2
1
1
1
2
1
。
21
？问题4:观察函数f(x)的平均变化率，结合直线的斜率分析平均值。
f(x)？f(x)
x2？x1
？y？x
变化率的几何意义是什么？
图4
设计意图:从几何角度得到平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想。
r(v0v)？r(v0).？v？0?vlim
问题8:对于x中的一般函数f(x)？如何表示x0处的瞬时变化率？
设计意图:引导学生摒弃具体问题的实际意义，抽象出函数在某一点的瞬时变化率，即导数，帮助学生实现理解上的飞跃。
师生活动:在前两个问题的基础上提出导数的概念；
一般来说，函数f(x)在x？x0处的瞬时变化率为:
潜象存储器（Latent Image Memory的缩写）
y？|f？(x0)？Lim称为函数y = f (x)在x = x0处的导数，记为f？(x0)还是x？x，也就是:？x？00?x？0f(xx)？f(x)？y？lim？x？x00？x？0 f(x0x)？f(x0)。？x
5.自我感应，增进了解
问题9:你从这一课中得到了什么？
设计意图:通过总结，帮助学生构建自己的知识体系，理清知识脉络，更好地理解本节课的知识和思维方法。
师生活动:在学生自我总结的基础上，揭示概念形成过程中的函数思维、逼近思维方法和抽象概括。
六、目标检测设计
1.将原油提炼为汽油、柴油、塑料和其他不同的产品需要冷却和加热原油。如果
2?x h时，原油温度(单位:c)为f(x)？x？7x？15(0?x？8)。
(1)计算第2小时和第6小时的原油温度瞬时变化率，并说明其意义。
(2)计算第3小时和第5小时的原油温度瞬时变化率，并说明其意义。
2.已知物体的位移(m)与时间t(s)满足关系S(t)=-2t2+5t。
(1)求物体在第5秒和第6秒的瞬时速度。
(2)求物体在时间t的瞬时速度..
(3)求物体在t时刻的运动加速度，判断物体做什么运动。
设计意图:目的是让学生学会从数学的角度看待物理模型，建立学科之间的联系，更深入地把握事物的变化规律。
高中数学选修1-1《变化率与导数》第二教案的教学准备
1.教学目标
(1)理解平均变化率的概念。
(2)理解瞬时速度和瞬时变化率的概念。
(3)理解导数的概念
(4)求函数在某一点的导数或瞬时变化率。
2.教学重点/难点
教学重点:瞬时速度和瞬时变化率概念以及导数概念的形成和理解。
教学难点:求简单函数y=f(x)在x=x0处的导数。
3.教学工具
多媒体和板书
标签
教学过程
首先，创设情景，引入话题
17世纪，欧洲资本主义发展初期，由于手工业向机器生产的过渡，提高了生产力，促进了科学技术的迅速发展，其中突出的成就是微积分的产生。
董事会绩效/PPT
教师发现，高台跳水运动员相对于水面的高度H(单位:米)与起跳后的时间T(单位:秒)之间存在函数关系。
h(t)=-4.9t2+6.5t+10。
如何用运动员在某些时间段的平均速度来大致描述自己的运动状态？
董事会绩效/PPT
让学生畅所欲言。老师们并不急着下结论，而是继续引导学生:如果你想知道结论是什么，那就让我们一起去观察和探索吧。
设计意图自然进入主题内容。
第二，探索新知识
[1]变化率问题
合作调查
1气球充气率的探讨
很多人都吹过气球。回想吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。如何从数学角度描述这种现象？
气球的体积V(单位:L)和半径R(单位:dm)之间的函数关系为
如果半径r表示为体积v的函数，则
董事会绩效/PPT
活动
分析
当V从0增加到1时，气球半径增大，气球的平均充气率为(1)。当V从1增大到2时，气球半径增大，气球的平均充气率为。
0.62 & gt0.16
可以看出，随着气球体积的增大，其平均充气率逐渐降低。
当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均充气率是多少？
分析:
探索2高台跳水
在跳台跳水中，运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)之间存在函数关系。h(t)=-4.9t2+6.5t+10。
如何用运动员在某些时间段的平均速度来大致描述自己的运动状态？
(请计算)
董事会绩效/PPT
学生举手回答。
活动生觉得问题有价值，有挑战性，渴望知道怎么解决。
老师分析:h(t)=-4.9t2+6.5t+10。
设计意图两个问题由易到难，让学生循序渐进。它的作用是引入变化率的概念，加深对变化率概念的理解。
调查3:计算运动员的成绩
这段时间的平均速度，并思考以下问题:
(1)这段时间运动员还在吗？
(2)你认为用平均速度来描述运动员的运动状态有什么不妥吗？
董事会绩效/PPT
学生举手回答。
在跳台跳水中，平均速度并不能准确反映他这段时间的运动状态。
活动* * *师生互相总结。
平均变化率:
上面两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，所以问题中的变化率可以用公式表示。
我们把这个公式叫做函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。
习惯了？x=x2-x1，？y=f(x2)-f(x1)
这里吗？x对于x1算一个？增量？可以用x1+吗？x而不是x2
一样？Y=f(x2)-f(x1)，所以平均变化率可以表示为:
几何意义观察函数f(x)的图像平均变化率的几何意义是什么？
探索2什么时候？当t趋近于0时，平均速度的趋势是什么？
从2s到(2+△ t) s的平均速度
当△ t趋近于0时，即无论t是从小于2的一侧趋近于2，还是从大于2的一侧趋近于2，平均速度趋近于某一值？13.1.
从物理角度来看，当时间间隔|△t |变得无限小时，平均速度将无限逼近t = 2时的瞬时速度。所以，t = 2时运动员的瞬时速度是多少？13.1米/秒
为了表达方便，我们用xx？当t =2，△ t和△t趋近于0时，平均速度趋近于某一值？13.1?。
瞬时速度
我们使用
秀？当t=2时，？当t趋近于0时，平均速度趋于某一值-13.1？。
局部变速用匀速代替，瞬时速度用平均速度代替。然后通过取极限，将瞬时速度的近似值转化为瞬时速度的精确值。那么，运动员在某一时刻的瞬时速度是多少呢？
设计意图是让学生认识到从平均速度向瞬时速度逼近的思想:δt越小，t=2秒时V越接近瞬时速度。
询问3:
(1).运动员在某一时刻t0的瞬时速度是多少？
(2)如何表示函数f(x)在x = x0处的瞬时变化率？
导数的概念:
通常，函数y = f (x)在x = x0时的瞬时变化率为
称为函数y = f(x)在x = x0处的导数，记为
或者，
汇总促销
根据导数的定义，求函数y = f (x)的导数的一般方法:
[3]示例说明
将原油精炼成汽油、柴油、塑料和其他不同的产品需要冷却和加热原油。如果原油的温度(单位:)为y=f (x) = x2在x h？7x+15 ( 0？x？8)计算第2小时和第6小时的原油温度瞬时变化率，并说明其意义。
解:在2h和6h，原油温度的瞬时变化率为
在2h和6h，原油温度的瞬时变化率分别为？3和5。它显示原油温度在第2小时左右以大约3 /h的速度下降；在第6小时左右，原油的温度以大约5/小时的速度上升.
[4]本课知识总结
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率:
(1)求函数的增量？y=f(x2)-f(x1)
(2)计算平均变化率
3、求物体运动的瞬时速度:
(1)求位移增量？s=s(t+？t)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求极限
4、从导数的定义可以得到求导的一般步骤:
(1)求函数的增量？y=f(x0+？t)-f(x0
)
(2)平均变化率
(3)求极限
第三，复习总结和作业
[1]课堂练习
1.函数y=f(x)的自变量x由x0变为x0+？x，函数值的变化？y是()A.f(x0+？x)B.f(x0)+？x
C.f(x0)x
D.f(x0+？x)-f(x0)
2.如果一个质点按定律s=8+t2运动，在时间段2 ~ 2.1内，平均速度为()A.4 B.4.1。
C.0.41 d.-1.1 3。求x=x0附近y=x2的平均速度。
4.两个点P (1，1)和Q (1+？x，1+？y)对曲线进行割线，并找出时间？x=0.1时割线的斜率。
课堂练习参考答案
1.D
解析:分别写出x=x0和x=x0+。函数值f(x0)和f(x0+？x)，两种类型相减，得到函数值的变化？y=f(x0+？X)-f(x0)，所以应该选D。
2.B
分析:
3.分析: