初中有真题竞赛题

(1)先证明△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形；

(2)制作对称图形，计算△ABC的面积。

详细回答:

(1)线段AB上的截距AD=AC

AB = 2AC，AD=AC

∴ DB=DC

∴ ∠ABC=∠DCB

AD = AC，AD与AC的夹角∠ BAC = 60。

△ ADC是等边三角形。

∴ ∠ADC = 60

∫∠ADC是等腰△DBC的外角。

∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB

= 2∠ABC

60 = 2 ∠ ABC

∴ ∠ABC = 30

且∠ BAC = 60。

△ABC中的∴，∠ ACB = 90。

(2)作P点关于AC的对称点P1，

作点P关于AB的对称点P2，

作点P3，P关于BC的对称点，

甚至AP1，AP2和P1P2都是从对称性得知的:

△AP1P2是等腰三角形，AP1 = AP2 = √3，P1P2 = 3，∠ p1ap2 = 2 ∠ BAC = 120。

很容易求出等腰△P1AP2的面积:S△P1AP2 = (3√3)/ 4。

同样，△BP2P3是一个等边三角形，BP2 = BP3 = P2P3 = 5，∠ p2bp3 = 2 ∠ ABC = 60。

很容易求出等边△BP2P3的面积:S△BP2P3 = (25√3)/ 4。

连CP1连CP3、

那么CP1 = CP = 2，CP3 = CP = 2，∠ P1cp3 = 2 ∠ ACB = 180，也就是线路P1，c和P3 * *。

In △P1P2P3，P1P2 = 3，P1P3 = 4，P2P3 = 5。

∴ △P1P2P3为Rt△，其面积为:S Rt△P1P2P3 = 6。

∴s△p1ap2+s△bp2p 3+s rt△p 1p2p 3

=(3√3)/ 4 +(25√3)/ 4 + 6

= 7√3 + 6

从对称性得知:

S△AP2B = S△APB

S△BP3C = S△BPC

S△AP1C = S△APC

∴ S△APB + S△BPC + S△APC

=(1/2)×(S△p 1ap 2+S△bp2p 3+S Rt△p 1p2p 3)

= (1/2)× (7√3 + 6)

= (7√3 + 6)/ 2

即△ABC的面积为(7√3+6)/ 2。