关于因式分解的数学问题...

x-7x+6 = 0x(x-7)+6 = 0x-7+6 = 0x = 1因式分解的定义:因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一。它在初等数学中应用广泛，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解法灵活多变。不仅要掌握因式分解的内容，而且对培养学生的解题技巧和发展学生的思维能力有着非常独特的作用。初中数学教材中，主要介绍了提取公因子、利用公式、分组分解、交叉相乘的方法。在竞赛中，也有拆分加项法、待定系数法、双十字乘法、旋转对称法等。(1)提出公因式法(1)公因式:每一项的公因式称为该多项式的公因式。(2)提公因式法:一般如果多项式的每一项都有公因式，可以把公因式放在括号外，把多项式写成因子积的形式。这种因式分解的方法叫做提高公因数法。am+BM+cm = m (a字母取每项的同一个字母，每个字母的索引取最低的度数。如果多项式的第一项为负，通常会提出一个“-”号。使括号中第一项的系数为正。(2)用公式法①方差公式:。a 2-b 2 = (a+b) (a-b) ②完全平方公式:a 2 2ab+b 2 = (a b) 2 ※能使用完全平方公式分解因子的多项式一定是三项式。另一项是这两个数(或公式)乘积的两倍。③立方和公式:A 3+B 3 = (A+B) (A 2-AB+B 2)。三次差分公式:a3-B3 =(A-B)(a2+A b+)[A(n-1)+A(n-2)b+...+b(n-2)a+b(n-1)]a m+b m =(a+b)【a(m再因式分解的方法。分组分解法一定要有明确的目的，就是分组后可以直接提取公因子，也可以使用公式。(4)分解补项法:将多项式的一项分解或填充两个(或两个以上)彼此相反的项，使原公式适于通过提取公因子进行因式分解，采用公式法或分组分解法；需要注意的是，变形必须在与原多项式相等的原则下进行。(5)1×2+(PQ)x+PQ型交叉乘法公式的因式分解。这种二次三项式的特点是:二次项的系数为1；常数项是两个数的乘积；线性项的系数是常数项的两个因子之和。所以我们可以直接分解一些系数为1:x2+(p q)X+PQ =(X+p)(X+q)2KX 2+MX+N的二次三项式如果能分解成K =那么kx 2+MX+N =(AXB)(CX D)A \-/B AC = K BD = N C/-\ D AD+BC = M※多项式分解的一般步骤:①如果多项式的每一项都有一个公因数，那么(2)如果没有公因子，那就尝试用公式和交叉乘法来分解；(3)如果以上方法无法分解，可以尝试分组、拆分、添加条目的方式进行分解；④必须进行因式分解，直到每个多项式因子都不能再分解为止。(6)应用阶乘定理:若f(a)=0，则f(x)一定包含因子(x-a)。如果f (x) = x 2+5x+6，f(-2)=0，则可以确定(x+2)是x 2+5x+6的因子。经典例子:1。分解因子(1+y)2-2x 2(1+y ^ 2)+x ^ 4(1-y)2解:原公式=(1+)x^2(1-y)- 2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)2-y(x ^ 2-1)]=(x+1)(x+1-xy+)=(x+3y)(x4-5x 2y 2+4y 4)=(x+3y)(x2-4y 2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)当y不等于0时，x+3y、x+y、x-y、x+2y、x-2y互不相同，33不能分成四个以上不同因子的乘积，所以原命题有十二种因式分解的方法把一个多项式变成几个代数表达式的乘积。这种变形叫做这个多项式的因式分解。因式分解的方法有很多种，总结如下:1。如果一个多项式的所有项都含有公因子，那么可以提出这个公因子，这样多项式就可以转化为两个因子的乘积。例1、因式分解因子x -2x -x(2003年淮安市中考)x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法由于因式分解因子与代数表达式乘法有倒数关系，如果把乘法公式反过来，可以用来分解某些多项式。例2，因式分解因子a +4ab+4b (2003年南通市中考)解法:a +4ab+4b =(a+2b) 3。分组因式分解法分解多项式am+an+bm+bn，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式A，再把它的后两项分成一组，提出公因式b .这样就得到了(a+b)(m+n)例3和分解因子m +5n-mn-5m的解:m+5n-Mn-5m = m-5m-Mn+5n =(m-5m)+(-Mn+5n)= m(m-5)-n(m c因式分解因子7x -19x-6分析:1-3722-21 =-19。例5、因式分解因子x +3x-40求解x+3x-40 = x+3x+()-()-40 =(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、分解和添加项。例6，分解因子bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解法:BC(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)= BC(c-a+a+b)+ca(c-a)。=(c+b)(c-a)(a+b) 7。替换法有时可以选择多项式的相同部分，用另一个未知数替换它，然后分解它，最后再转换回来。例7、因式分解因子2x -x -6x -x+2解:2x-x-6x-x+2 = 2(x+1)-x(x+1)-6x = x[2(x+)-(x+)-6令y . x[2(x+)-(x+)-6 = x[2(y-2)-y-6]= x(2y-y-10)= x(y+2)(2y-5求根法使多项式f(x)=0，求其根为x，x，x，…x，...x，那么多项式可以分解成f (x) = (x-x) (x-x)...(x-x)例8。因式分解因子2x +7x -2x -13x+6解法:设f (x) = 2x+7x-2x-6556。1，则2x+7x-2x-13x+6 =(2x-1)(x+3)(x-1)9，图像命令y=f(x)，函数y=f(x)则多项式可因式分解为f (x) = f (x) = (x-x) (x-x)...(x-x)例9。因式分解x +2x -5x-6解:设y= x +2x -5x-6作其像，如右图。2那么x+2x-5x-6 =(x+1)(x+3)(x-2)10，主成分法首先选取一个字母作为主成分，然后按照这个字母号把项目从高到低排列，再进行因式分解。例10，分解因子a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)解析:本题可选择A作为主元素。解按降序排列:a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)= a(b-c)-a(b-c)+(b-c)=(b-c)[a-a(b+c)+BC]。将数p分解成质因数，将质因数适当组合，将组合后的各因数写成2或10的和与差，将2或10化简为X，即因式分解公式。例11，因式分解因子x +9x +23x+15解法:设x=2，则X+9X+23x+15 = 8+36+46+15 = 15。即105=3×5×7。注意多项式中最高项的系数是1，而3，5，7分别是x+1，x+3，x+5。当x=2时，值为x+9x+23x+15 =。示例12。因式分解因子x -x -5x -6x-4分析:很容易知道这个多项式没有主因子，所以只能分解成两个二次因子。解:设X-X-5x-6x-4 =(X+AX+B)(X+CX+D)= X+(A+C)X+(AC+B+D)X+(AD+BC)X+BD，则解为X-X-5x-6x-4。