高中三角函数数学解题
三角形中的三角函数关系是历年高考重点内容之一。本节主要帮助考生深入理解正弦和余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧。
●困难的磁场
(★★★★★)已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B。求cos的值。
●案例研究
【例1】A岛有一座海拔1 km的山，山顶有一个观测站P。11 am，在岛东30° B测到一艘船，俯角60°，到达11 am。
(1)求船速，单位公里/小时；
②过了一段时间，船到达了D岛的正西方向。此时船离A岛还有多远？
命题意图:本题主要考查三角形的基础知识，以及学生综合运用三角形知识识图和解决实际问题的能力。
知识支撑:主要利用三角形的三角关系，关键是找准方位，合理利用角关系。
错题解析:考生方位识别不准确，计算容易出错。
技巧方法:主要根据三角形中的角关系，利用正弦定理解题。
解:(1)在Rt△PAB，∠ APB = 60 Pa = 1，∴AB= (km)。
在Rt△PAC中，∠ APC = 30，∴AC= (km)。
在△ACB，∠ cab = 30+60 = 90。
(2)DAC = 90-60 = 30
sin DCA = sin(180-∠ACB)= Sina CB =
sinCDA=sin(∠ACB-30 )=sinACB？cos30 -cosACB？sin30。
在δ△ACD中，根据正弦定理，
∴
答:此时，船距离a岛1000公里.
【例2】已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB()。
(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)判断其单调性并证明；
(3)求这个函数的范围。
命题意图:本题主要考察考生运用三角知识解决综合问题的能力，考察考生对基础知识的灵活运用和考生的计算能力，属于★★★★类。
知识依赖:主要依据三角函数的相关公式和性质以及函数的相关性质来解题。
错题解析:考生很难灵活运用三角函数中的相关公式，也不容易想到利用函数的单调性来求函数的值域。
技巧与方法:本题的关键是利用三角函数的相关公式，求f(x)的解析式。公式主要是和差积和积和差公式。求定义域时注意||的范围。
解:(1)∵A+C=2B，∴ B = 60，A+C = 120。
∵0 ≤| |<60 ,∴x=cos ∈(，1
而4x2-3 ≠ 0，∴x≠，∴域是(，)∨(，1]。
(2)设x1 < x2，∴f(x2)-f(x 1)= 1
=，如果x1，x2∑()，则4x12-3 < 0，4x22-3 < 0，4x1x2+3 > 0，x1-x2 < 0，∴ f (x2
即f (x2) < f (x1)，若x1，x2∈(，1)，则4x12-3 > 0。
4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0.
即f (x2) < f (x1)，∴f(x)是关于(，)和(，1的减函数。
(3)根据(2)，f(x)< f()=-或f(x)≥f(1)=2。
所以f(x)的取值范围是(-∞，-)∩[2，+∞。
●卷起袖子
本难点涉及的问题及解决方案主要包括:
(1)巧用方程的观点和不变变形的方法解三角形；
(2)熟练地进行角点和已知关系的等价变换；
(3)能够熟练运用三角形的基础知识，用三角函数的公式协调正余弦定理和面积公式，通过等价变换或构造方程解决三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘。
●摧毁高难度训练
一、选择题
1.(★★★★★)给出四个命题:(1)如果sin2A=sin2B，那么△ABC是等腰三角形；(2)如果sinA=cosB，那么△ABC是直角三角形；(3)如果sin2a+sin2b+sin2c < 2，△ABC是钝角三角形；(4)若cos(a-b)cos(b-c)cos(c-a)= 1，则△ABC为正三角形。以上正确命题的数量是()。
A.1
第二，填空
2.(★★★★)在△ABC中，已知A、B、C是等差数列，所以_ _ _ _ _ _ _ _的值。
3.(★★★★)在△ABC中，A是最小的角，C是最大的角。如果COS(2A+C)=-且sinB=，则COS 2 (B+C) = _ _ _ _ _ _。
第三，回答问题
4.(★★★★)给定圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。
5.(★★★★★)如右图所示，一个半径为r的圆桌中心上方悬挂着一盏电灯，桌子边缘一点的照度与灯与桌子的夹角θ的正弦成正比，角度与该点到光源的距离r的平方成反比，即I=k？其中k是与光强有关的常数，那么如何选择灯悬挂的高度h才能使桌子的边缘最亮？
6.(★★★★)在△ABC中，A、B、C分别是角A、B、C的对边。
(1)求角度A的度数；
(2)若a=且b+c=3，求B和c的值.
7.(★★★★)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为A，B，C，A，B，3c成几何级数，且∠A-∠C =，试求∠A。
8.(★★★★★)取正三角形ABC的边AB和AC上的两点D和E，使三角形沿线段d E折叠时，顶点A正好落在边BC上。在这种情况下，为了最小化AD，求AD∶AB的值。
参考答案
难磁场
方案一:根据条件，B = 60，A+C = 120。
设α =，则可得A-C = 2α，且A = 60+α，C = 60-α。
根据主题的不同，条件如下
精加工至4 cos 2α+2 cosα-3 = 0(m)
(2cosα- )(2 cosα+3)=0，∫2 cosα+3≠0，
∴ 2cosα-= 0。这样，就获得了cos。
方案二:根据条件，B = 60，A+C = 120。
①、把公式①改成科萨+COSC =-2科萨COSC ②、
使用和差乘积和乘积的和差公式，等式②可以变为
③,
将cos =cos60 =，cos(a+c)=-代入式③，得到:
④
将cos (a-c) = 2cos2 ()-1代入④: 4cos2 ()+2cos-3 = 0，(*)，
歼灭高难度训练
一、1。解析:其中，(3)、(4)是正确的。
答案:b
2.解析:∫A+B+C =π，A+C=2B
回答:
3.解析:∫a是最小角度∴ 2A+C = A+A+C < A+B+C = 180。
∫cos(2a+c)=-,∴sin(2a+c)=。
∫c是最大角度，∴B是锐角，sinB=。所以cosB=。
即sin(A+C)=和cos (a+c) =-。
∫cos(B+C)=-cosA =-cos[(2A+C)-(A+C)]=-，
∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1=。
回答:
3.4.解:如图，如果连上BD，就会有四边形ABCD的面积:
S=S△ABD+S△CDB=？AB？ADsinA+？公元前？CD？sinC
* a+c = 180 ,∴sina=sinc
所以S= (AB？公元+公元前？CD)sinA =(2×4+6×4)sinA = 16 sinA
根据余弦定理，在△ABD中，BD2 = AB2+Ad2-2ab？AD？cosA=20-16cosA
在△CDB，BD2 = CB2+Cd2-2cb？CD？cosC=52-48cosC
∴20-16cosa=52-48cosc,∵cosc=-cosa，
∴ 64 COSA =-32，COSA =-，且0 < A < 180，∴ A = 120，所以S = 16SIN120 = 8。
5.解:R=rcosθ，这导致:
7.解法:A，B，3c成几何级数，b2=3ac。
∴sin2B=3sinC？sinA=3(- )[cos(A+C)-cos(A-C)]
∫B =π-(A+C)。∴sin2(A+C)=- [cos(A+C)-cos ]
即1-cos 2 (a+c) =-cos (a+c)，cos (a+c) =-。
∵ 0 < a+c < π，∴A+C= π。而a-C= ∴ a = π，B=，C=。
8.解法:根据题意，设a点折叠后落在边BC上，改名为p点，显然a点和p点关于折线DE对称，设∠BAP=θ，∠ DPA = θ，∠BDP=2θ，设AB=a，AD=x，∴.
∠APB = 180-∠ABP-∠BAP = 120-θ，？
来自正弦定理:。∴BP=
在△PBD，
∵ 0 ≤ θ≤ 60，∴ 60 ≤ 60+2θ≤ 180，∴当60+2θ = 90，即θ = 15，
Sin (60+2θ) = 1，此时x取最小值a，即AD最小，∴ AD ∶ DB = 2-3。