4.7高中数学竞赛模拟试卷|全国高中数学竞赛
(第一次尝试)
王欣福州一中
一、选择题(每小题6分，* * * 36分)
？cos αcos β？1.设函数f (x) = sin β+ sin α？α和β是锐角，如果对任何x > 0，
F (x) < 2，则()(A )x x 0 α+β π。
4 (B )0 α+β π
2 (C )π
4 α+β π
2 (D )α+β π
2
2.定义在R上的函数满足f (x )= f(x+2)。当x ∈ [3，5]，f (x) = 2-| x-4 |时，则
()
f (sinπ
66
2π2π) f (sin2) (C )f (cos33
3.如果不等式a +b ≤m？A 2+b 2对所有的正实数A和B成立，那么m的最小值是()
f (cos1) 2 (C) 2 (D) 4 3
四
x 2y 2
+=1有n个不同的点P 1，4。椭圆P ^ 2，…，P ^ n，F为右焦点，{| pif |} (I = 1，2，n) 43。
作文公差d > 1的等差数列。n的最大值是()100。
199(B)200(C)99(D)100
25.已知序列{ an n }满足an n，a 1 = = an+1an-1(n？1)2是最接近a 2006的自然数。
是()
(A)8(B)9(C)10(D)11
6.在边长为1的立方体C中，做一个内接大球O 1，然后在C的一个角上做一个小球O 2，使其与大球外切，同时与正立方体的三个面相切。那么球O 2的面积就是()(a) (7-43) π (b)(。
二、填空(每道小题9分，***54分)
七
给定固定点A，若动点P在抛物线y 2 = 4x上，点P在Y轴上的投影为点M，则|PA |-|PM |的最大值为_ _ _ _ _ _。
8.已知函数f (x) = 2x+3。如果y =g (x)的像和y =f x -1-1(x +1)的像关于直线y =x对称，则g (3)的值等于。
9.正三棱锥的三条边都是1，并且相互垂直。将这个三棱锥绕其高度旋转60度？，旋转后的三棱锥与原三棱锥的公部体积为。
10.一个4×4的棋盘，由16个小方格组成，其中8个小方格染成黑色，这样每一行和每一列正好有2个黑格，有不同的染色方法。(用数字回答)
11.已知平面上的两个点集
M = {(x，y) || x+y+1 |≥ x，y ∈ r}，n = {(x，y) ||| x-a | +| y-1 | ≤ 1，x，.，那么a的值域是。
12.如果6+2+2(m，n ∈N)是一个完全平方数，那么所有可能的(m，n) = .mN。
三。解题(每道小题20分，***60分)
13.甲乙双方轮流掷一枚制服硬币。谁先扔人头谁就赢，游戏结束，输的人在下一局先扔。
(1)求任一局中先投者获胜的概率；
(2)假设他们打了10局，A投了第一局，A赢第k局的概率是P K，如果
k 1
x 2y 2
14.已知椭圆E:2+2 = 1(a > b & gt；0)，动圆F:x ^ 2+y ^ 2 = R ^ 2，其中b是椭圆e上的点，b是动圆F上的点，使直线AB与椭圆e和动圆F都相切，求两点A和b之间的最大距离。
15.已知不等式2(2a +3) cos(θ-π
4) +6
对于θ ∈？0, ?恒成立，现实数a的取值范围？2π?
附加检验
1.(50分)在△ABC，BC+CA=3AB中，内部分为I，内切圆分别在D和E中切BC，CA。设D，E关于I有对称点为K，L，分别验证，A，B，K，L四个* *圆。
2.(50分)3。给定实数A >；1.对于所有满足条件(x 1+x2+x3+x4+X5)(11111++)= 25a的x1x2x4x5的正实数组。求max{x 1，x 2，x 3，x 4，x 5}的取值范围。min{x 1，x 2，x 3，x 4，x 5}
3.n个团队(n & gt2)参加单人循环赛。每两队打一局，每局都会有输赢。如果甲、乙、丙三个队赢了一场，就叫系列赛。整场比赛下来最多会有几个系列？
参考答案
(第一次尝试)
一、选择题:
1.(d)根据题意有0。
即cos(α+β)α+β>；圆周率？
2 。选择(d)。
2.(d) Set-1？x？1，那么3？x？5 。
∴f(x)= f(x+2)= f(x+4)= 2-|(x+4)-4 | = 2-| x | .
容易知道(a)、(b)、(c)错误。而f (cos2) = 2-| cos2 |，f (sin2) = 2-| sin2 |，∵| sin2 | > | cos2 |，∴ f (cos2) > f (sin2) ∴选择(d)。
a 2+b 2
3.(c)∫A+≤2(A+B)≤2，等号成立当且仅当A = B. 2
∴ m ≥24，即m的最小值为2。∴选择(c)。
4.(b)∫| pn f | = | p 1f |+(n-1)d,∴n = 1+33p n f-p 1f
d，
椭圆中焦点半径|πF |的最大值是a+c，最小值是a-c，则
|Pn F| - |P1F|？a + c - (a - c)= 2c = 2 .