数学复数的话题

我们把一个z = a+bi(a和b都是实数)形式的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，I称为虚部。当z的虚部等于零时，z常称为实数；当Z的虚部不等于零，实部等于零时，Z常称为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首先提出的。经过达朗贝尔、德·莫伊弗尔、欧拉和高斯的工作，这一概念逐渐被数学家所接受。

当数集扩展到实数范围时，仍有一些运算无法执行(例如，将负数开至偶次方)。为了使方程有解，我们再次扩充数集。

在实数域中定义二元有序对z=(a，b)，规定有序对之间有运算“+”和“x”(注z1=(a，b)，z2=(c，d))；

z1 + z2=(a+c，b+d)

z1 × z2=(ac-bd，bc+ad)

很容易验证这样定义的所有有序对在有序对的加法和乘法下形成一个域，对于任意复数Z，我们有

z=(a，b)=(a，0)+(0，1) × (b，0)

设f是实数域到复数域的映射，f(a)=(a，0)，那么这个映射在实数域保持加法和乘法，所以实数域可以嵌入复数域，可以看作复数域的子域。

记住(0，1)=i，那么按照我们定义的运算，(a，b) = (a，0)+(0，1) × (b，0) = a+bi，i× i = (0，1) ×就可以了

形状

的数称为复数，其中I定义为虚数单位，而

(A和B是任意实数)

我们将把复数

实数A in称为复数Z的实部，记为REZ = A。

实数b称为复数z的虚部，记为imz = B .

当a=0且b≠0且z=bi时，我们称之为纯虚数。

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然R是C的真子集。

复杂集是无序的，无法建立大小顺序。

复数的模数

复数的实部和虚部的平方和的正平方根的值称为复数的模，并表示为∣z∣.

也就是说，对于复数

，它的模块

对于复数

，称为复数

=a-bi是z的* * *轭复数，即两个实部相等虚部相反的复数是共轭复数。复数z的轭的复数写为

。根据定义，如果

(a，b∈R)，那么

=a-bi(a，b∈R).* * *对应于轭复数的点关于实轴对称。两个复数:x+yi和x-yi称为* * *轭复数。它们的实部相等，虚部相反。在复平面上，代表两个轭的复数的点是关于X对称的，这就是“轭”字的由来——托盘天平上的两个托盘需要* * *装上一根水平横梁，称为“轭”。如果x+yi用z表示，那么在z这个字上面加一个“一”就是x-yi，反之亦然。

* * * yoke复数有一些有趣的性质:

在复函数中，自变量z可以写成

，r是z的模，即r = | z |θ是z的径向角度，记为Arg(z)。-π和π之间的发散角称为发散角的主值，记为:arg(z)(小写a)。

任何不为零的复数

的径向角度有无穷多个值，这些值相差2π的整数倍。适用于-π≤θ

指数形式:

加法规则

复数的加法法则:设z1=a+bi，z2=c+di为任意两个复数。和的实部是原两个复数实部之和，其虚部是原两个虚部之和。两个复数之和还是复数。

也就是

乘法法则

复数乘法法则:两个复数相乘，类似于两个多项式相乘。在结果中，i2= -1，并分别合并实部和虚部。两个复数的乘积仍然是一个复数。

也就是

除法法则

复数除法的定义:满足

复数

称复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法:分子和分母同时乘以分母的* * *轭复数，然后按乘法法则运算。

也就是

处方规则

如果Zn = r(cosθ+isθ)，则

(k=0，1，2，3…n-1)

算术定律

加法交换律:z1+z2=z2+z1。

乘法交换律:z1×z2=z2×z1。

加法结合律:(z 1+z2)+z3 = z 1+(z2+z3)

乘法结合律:(z 1×z2)×z3 = z 1×(z2×z3)

分布规律:z 1×(z2+z3)= z 1×z2+z 1×z3。

我的权力规则

I4n+1 = i，i4n+2 =-1，i4n+3 =-i，i4n = 1(其中n∈Z)。

任何不为零的复数，其零次方是一。

希望能帮你解惑。