2001全国数学联赛答案

2001全国高中数学联赛试题讲解

广义段志毅

和前三届一样，今年的全国高中数学竞赛仍然分为联赛和加试两部分，但今年的试题明显比去年难，陕西赛区平均分下降了近60分。为了体现本栏目的宗旨，下面只对今年的联赛试题进行说明，以供参考。

？一、选择题(此题满分36分，每小题6分)

？1.给定A是给定的实数，集合m = {x | x2-3x-a2+2 = 0，x ∈ r}的子集个数为()。

？A.1b.2c.4d .不确定。

？说明:M表示方程X2-3x-A2+2 = 0在实数范围内的解集。因为δ = 1+4a2 > 0，所以M包含2个元素。所以集合M有22 = 4个子集，所以选c .

？2.命题1:在长方体中，必有高度等于每个顶点的点。

？命题2:长方体中，必有到所有边距离相等的点；

？命题3:在一个长方体中，必有到所有面距离相等的点。

？上述三个命题中，正确的是()。

？A.0 B.1 C.2 D.3

？解释:由于长方体中心到各顶点的距离相等，所以命题1是正确的。对于命题2和命题3，一般长方体(正方体除外)中不存在到各边距离相等的点，也不存在到各面距离相等的点。所以这道题只有命题1，所以选b。

？3.四个函数y = sin | x |，y = cos | x |，y = | ctgx |，y = LG | sinx |中，以π为周期，在(0，π/2)上单调递增的偶函数是()。

？A.y=sin|x| B.y=cos|x|

？C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx|

？4.若∠ ABC = 60，AC = 12，BC = K，恰好有一个△ABC，则K的值域为()。

？A.k=8 B.0

？C.k ≥ 12 d.0 < k ≤ 12或k = 8。

？说明:这是“已知三角形的两条边和一条边的对角，求解三角形”问题的逆问题。根据教材的结论，应该选择结论D。

？注:本题也可以通过作图直观判断，也可以通过特殊值法排除A、B、C。

？5.如果(1+x+x2) 1000的展开式为A0+A1x+A2X2+…+A2000x2000，则A0+A3+A6+A9+…+A1998的值为()。

？A.3333？B.3666？C.3999？D.32001？

？说明:因为需要展开式中每一滴的两个系数之和，所以我们将其与1的单位根联系起来，使用特殊值法。

？如果ω =-(1/2)+(/2) i，ω 3 = 1，ω 2+ω+1 = 0。

？设x = 1，得到

？31000 = A0+a 1+a2+a3+…+a 2000；①

？设x =ω，得到

？0 = A0+a 1ω+a2ω2+…+a 2000ω2000；②

？设x = ω 2，所以。

？0 = A0+a 1ω2+a2ω4+a3ω6+…+a 2000ω4000。③

？①+②+③的

？31000 = 3(A0+a3+a6+…+a 1998)。

？∴ A0+A3+A6+…+A1998 = 3999，选c

？6.已知6朵玫瑰和3朵康乃馨的价格之和大于24，4朵玫瑰和5朵康乃馨的价格之和小于22元，故比较2朵玫瑰和3朵康乃馨的价格，结果是()。

？A.2玫瑰很贵。B.3康乃馨贵。

？c .相同价格d .不确定性

？说明:这是一个大小对比的问题。我们假设玫瑰和康乃馨的单价分别是X元和Y元，从问题中会得到。

6x+3y>24，

①

4x+5y<22。

②

？问题转化为在条件①和②的约束下比较2x和3y的大小。有两种解决方案:

？解1:为了整体使用条件①和②，设6x+3y = a，4x+5y = b，得到x = (5a-3b)/18，y = (3b-2a)/9的联立解。

？∴2x-3y=…=(11a-12b)/9.

？∫a > 24，b<22，

？∴11a-12b>11×24-12×22=0.

？∴ 2x > 3y，选一个

图1

？解法二:不等式①、②、x > 0、y > 0组成的平面面积，就是图1中的阴影部分(不包括边界)。设2x-3y = 2c，那么c代表直线L的截距:2x-3y = 2c在X轴上。显然，当L穿过点(3，2)时，2c的最小值为0。

？描述:(1)此题类似于下面的1983全国高中数学联赛题:

？给定函数m = f (x) = ax2-c满足:-4 ≤ f (1) ≤-1，-1 ≤ f (2) ≤ 5，则f(3)应满足()。

？A.-7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15

？c .-1≤f(3)≤20d .-28/3≤f(3)≤35/3

？(2)如果分别从条件①和②得出x和y的取值范围，然后从2x-y的取值范围得出结论，就容易出错。以上方案1采用整体思路，方案2直观可靠。详见【1】。

？二、填空(此题满分54分，每小题9分)

？7.椭圆的短轴长度ρ = 1/(2-cos θ)等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

？说明:如果注意到极点在椭圆的左焦点，可以用特殊值法；如果注意偏心率e和焦点参数p(焦点到对应准线的距离)的几何意义，也可以直接求出本题中短半轴的长度。

解决方案1:由

ρ(0)=a+c=1，

得到

a=2/3，

ρ(π)=a-c=1/3，

c=1/3。

？因此b =/3，所以2b = 2/3。

？解2:从E = C/A = 1/2，P = B2/C = 1和B2 = A2-C2，B =/3。因此2b = 2/3。

？注:这是符合大纲的测试，不在高考范围内。

？8.如果复数z1和z2满足| Z1 | = 2和| Z3 | = 3，3Z1-2Z2 = (3/2)-I，则Z1 Z2 = _ _ _ _ _ _ _。

？说明:参考答案给出的解法是有技巧的。根据问题的特点，复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点，也不复杂。

？设z1 = 2 (COS α+ISIN α)，Z2 = 3 (COS β+ISIN β)，则得到3Z1-2Z2 = (3/2)-I和复数相等的充要条件。

6(cosα-cosβ)=3/2，

6(sinα-sinβ)=-1

也就是

-12 sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)= 3/2，

12 cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)=-1。

？除以两个公式，TG (α+β)/2) = 3/2。

？从通用公式中，得到

？sin(α+β)=12/13，cos(α+β)=-5/13。

？所以z 1 . z2 = 6[cos(α+β)+isin(α+β)]

？=-(30/13)+(72/13)i。

？注意:这个问题也可以利用复数的几何意义来解决。

？9.如果立方体ABCD-A1B11的边长为1，则直线A1C1与BD1之间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _。

？说明:这是一个求不同平面上两条直线的距离的问题。有很多解决方法。这里有一个基本的解决方案。

图2

？为了保证表示距离的线段垂直于A1C1和BD1，建议先将其中一条直线放在另一条直线的垂直面上。因此，如果BDD1B1是立方体的对角线平面，A1C1⊥.和BD1上的BDD 1。设a 1c 1∩b 1d 1 = 0，使OH⊥BD1在BDD 1b1。

？10.不等式|(1/log 1/2x)+2 | > 3/2的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

？说明:从外观上看，这是一个绝对的不等式。首先，获取log1/2x 0。

？所以x > 4，或者1 < x < 22/7，或者0 < x < 1。

？11.函数y = x+的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

？说明:先把根号平方。

？如果(y-x) 2 = x2-3x+2，则x = (y2-2)/(2y-3)。

？如果y≥x，y ≥ (y2-2)/(2y-3)。

？解是1 ≤ y < 3/2或者y ≥ 2。

？由于可以达到下限0，所以函数的取值范围是[1，3/2]∩[2，+∞)。

？注:(1)参考答案为1 ≤ y < 3/2或y≥2后，需要很长时间来验证，确实没有必要。

？(2)这个问题也可以用三角代换法和镜像法解决，但比较复杂，读者不妨一试。

图3

？12.在一个正六边形的六个区域种植观赏植物(如图3所示)需要在同一个区块种植同一种植物，在相邻的两个区块种植不同的植物。有四种不同的植物可供选择，所以有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _种种植方案。

？说明:为了描述方便，我们用字母A、B、C、D、E、f标注六个区域，间隔A、C、E三个区块种植的植物数量分为以下三类。

？(1)如果A、C、E是同一株，有四种方法。A、C、E种下后，B、D、E可以从剩下的三株中选择一株(允许重复)，各有三种方法。此时，* * *有4× 3× 3 = 65438+。

？(2)如果A、C、E是两种植物，有P42方法。种A、C、E时，若A、C相同，则B有三种方法，D、F有两种方法；如果C，E或E和A相同，则相同(只是顺序不同)。此时，* * *有P43× 3 (3× 2× 2) = 432个方法。

？(3)如果有A、C、E三种植物，则有P43方法。此时B，D，f有两个方法，此时，* * *有P43× 2× 2 = 192个方法。

？根据加法原理，有n = 108+432+192 = 732个种植方案。

？注意:此题为循环排列题。

？三、解题(此题满分60分，每小题20分)

？13.设{an}为等差数列，{{bn}}为等比数列，B1 = A12，B2 = A22，B3 = A32 (A1 < A2)。和(B1+B2+…+。

？说明:这是一个关于算术和几何级数的基本问题。级数{an}和{{bn}}的前三项满足bi = AI2 (I = 1，2，3)，因此可以确定级数{an} a1的第一项与公差D的关系。a1和D的值可以从(B1+B2+…+BN) =+1得到。

？设{an}的公差为d，从A1 < A2，得到d > 0。

？由B22 = B1b3，我们得到A24 = A12a32。

？∴ A22 = a1=a2=a3(别管它，否则a1=a2=a3)

？或者a22 =-a1a3。

？∴(a1+d)2=-a1(a1+2d)，

？即2A12+4A1d+D2 = 0。

？D = (-2) A1。

？若D = (-2-) A1，则Q = A22/a 12 =(+1)2 > 1，不符合要求。

？如果d = (-2+) a1，那么q = a22/a12 = (-1) 2。

？由(B1+B2+…+BN) =+1，我们得到。

？b1/(1-q)=+1，

？即a 12/(1-(-1))2 =+1。解决方法是A12 = 2。

？A1

？∴a1=-,d=(-2+)a1=2-2.

？14.设曲线C1: (x2/A2)+Y2 = 1 (A为正常数)和C2: Y2 = 2 (X+M)在X轴上方只有一个公共点P。

？(1)现实数m的值域(用a表示)；

？(2)以O为原点，若C1与X轴负半轴相交于A点，当0 < A < 1/2时，求△OAP(用A表示)面积的最大值。

？解释:(1)可以把曲线C1和C2的公共点数问题转化为由它们的方程组成的方程的解的个数问题。

经过

(x2/a2)+y2=1，

消除y，得到

y2=2(x+m)

x2+2a2x+2a2m-a2=0。①

？问题转化为方程①在区间(-a，a)上有唯一解或两个相等的实根。设f (x) = x2+2a2x+2a2m-a2。

？当δ = 0时，即m = (A2+1)/2，XP =-A2。从-A

？当f (-a) f (a) < 0，即-a < m < a时，方程①在区间(-a，a)内有一个根(另一个根在区间外)。

？当f (-a) = 0，即m = a时，XP = a-2a2。从-a < a-2a2 < a，我们得到0 < a < 1。此时方程①在区间(-a，a)有唯一解；当f (a) = 0时，即m =-a，XP =-a-2a2。如果-a

？综上所述，当0 < a < 1时，m = (A2+1)/2，或者-A < M≤A；当a≥1时，-a < m < a。

？(2)∵a(-a,0),∴s△oap=(1/2)ayp.

？当0 < a < 1/2时，-a < m ≤ a由(1)可知。XP =-a2+a由等式①得出。

？很明显，XP > 0，所以yp =。

？yP要最大化，xP要最小化。很容易知道当m = a时，(XP) min = a-2a2。因此，(YP) max = 2。因此，(S △ OAP) max = a .

？当m = (A2+1)/2时，XP =-A2。因此YP =，所以S △ OAP = (1/2) A

？让我们比较一下A和(1/2) A的大小.

？∵()2-((1/2))2

？=…=-(1/4)(3a-1)(a-1)。

？∴当0 < a ≤ 1/3，a ≤( 1/2)a；

？当1/3 < A < 1/2，A > (1/2) A。

因此，(s △ OAP) max =

(1/2)a

(1/3

？描述:此题考查学生思维的严谨性。

图4

？15.用电阻值为a1、a2、a3、a4、a5、A6 (A1 > A2 > A3 > A4 > A5 > A6)的电阻器组装一个如图4所示的模块。如何选择组装中的电阻，使模块的总电阻值最小？证明你的结论。

说明:假设一个6电阻组件(如图5所示)的总电阻为RFG。当RI = AI (I = 3，4，5，6)，R1时，R2是a1和a2的任意排列，RFG最小。

？通过逐步调整的方法证明如下:

图5

？(1)当R1和R2并联时，得到的元件R的电阻值满足1/R =(1/R 1)+(1/R2)。如果R1，R2和R互换，R不变。

？(2)设具有三个电阻器的组件的总电阻(如图6所示)为RAB，则

？RAB =(r 1r 2/(r 1+R2))+R3 =(r 1r 2+r 1r 3+r2r 3)/(r 1+R2)。

？显然，R1+R2越大，RAB就越小。因此，为了使RAB最小，R3必须是三个电阻中最小的一个。

图6

图7

？(3)如果具有四个电阻器的组件的总电阻(如图7所示)为RCD，则

？1/刚果民盟=(1/RAB)+(1/R4)

？=(r 1r 2+r 1r 3+r 1 R4+r2r 3+r2r 4)/(r 1r2r 4+r 1r3r 4+r2r3r 4)。

？记住S1 =，S2 =，那么S1，S2都是固定值。所以RCD =(S2-r 1r2r 3)/(s 1-r3r 4)。

？显然，当R3

？(4)回到图5，用等效电阻RAB代替由R1、R2和R3组成的元件。为了最小化RFG，从(3)可知，R6 < R5；并且从(1)可知，RCE应该被最小化。从(2)可知，R5 < R4和RCD应最小化，以最小化RCE。从(3)可知，R4 < R3 < R2，R4 < R3 < r1应最小化，以使RCD最小化。

？综上所述，通过根据图5选择电阻，可以使该元件的总电阻最小。

？描述:根据电学知识，两个电阻并联，其组成元件的电阻小于两个电阻中最小的一个，所以这个问题也可以反过来想。