不等式的应用问题
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中考不等式的考查表明，过去的传统题型已经明显减少或消失，取而代之的是更加动态的应用题。众所周知，能力的立足点在于应用。不平等和其他知识一样，一旦应用起来会有更广阔的市场。比如河北省中考试题中，数学应用题的分值高达71，占比59%，其中有两道不等式应用题，广州的中考试卷甚至以不等式应用题作为压轴题。本文只讨论不等式应用题的特点和解法，仅供参考。
一、单个不等式应用问题
例1，(河北省)在一次“人与自然”的知识竞赛中，竞赛有25道题，每道题给了4个答案，只有一个是正确的。要求学生选择正确答案，每题4分，没选或选错2分。如果学生在这次竞赛中得分不低于60分，
点评:不等式应用的难点之一是区分它与方程应用的异同。如何列出不等式要善于把握问题中“不小于”和“至少”这两个词的数学含义。在这个问题中，“向后扣2分”这句话应该理解为没有选择或者没有做错，实际上应该扣6分。所以选对了问题X，就不会选或者选错了题目为(25-x)的问题，那么就会有
100-6(25 x)≥60
解:x≥18x=19，也就是他至少选对了19题。
例2。(某市)足球比赛的计分规则是:赢一场得3分，平一场得1分，输一场得0分。一支球队应该打15场，已经输了3场。如果它想积22分，那么这个队至少要赢()。
a，3场B，4场C，5场D，6场
点评:一场足球比赛的结果有三种情况:胜、平、负。如果假设X局会赢，剩下的打成平手，那么
3x+12-x≥22扣除x≥5。
为什么不能列出方程式:3x+12-x=22，因为实际分数小于等于3x+12-x(有可能在以后的比赛中输)，所以
3x+12-x≥实际得分=22
例3:某商场(北京市东城区)销售的一台冰箱，每台2190元，日耗电量为1度。B节能冰箱虽然价格比A冰箱高10%，但是每天耗电0.55度。现在A冰箱打折销售(九折后的价格为原价)。向商场要求至少打折。
解决方法:现在A冰箱打了X折，买比较划算。根据问题的意思:
2190×+365×10×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4
推导出x≤8
即商场销售A型冰箱至少要打八折，让消费者买得经济。
点评:本例利用求解不等式为营销中的购销行为提供决策。
二、综合方程、函数不等式的应用问题
例4:某商场(山西省)计划投入一笔资金购买一批缺货商品。通过市场调查发现，如果月初卖出，获利15%，本息可以用来再投资其他商品，那么月末获利10%。如果月底卖出，可以盈利30%，但是要支付仓库存储的成本。700元，根据商场的财务状况，如何通过买卖获取更多利润？
解决方法:如果你投资X元，月初卖出，月底可以获利y1元；月底可以获利y2元，题目意思是:y 1 = 15% x+10%(x+15% x)= 0.265 x。
y2=x 0.3-700=0.3x-700
(1)当y1=y2时，解为:0.265x=0.3x-700，推导出x = 2,000元。
(2)当y1 < y2时，解:0.265x < 0.3x-700扣除那个x > 2000元。
(3)当y1 > y2时，解:0.265x > 0.3x < 700扣除那个x < 2000元。
即商场投资2000元时，两种经营模式获利相同，投资超过2000元时，第二种模式获利更多，投资不足2000元时，第一种模式获利更多。
点评:(1)题得到两个函数公式，(2)、(3)两题利用不等式的解对管理模式进行最优决策，不等式的应用在这里得到了很好的发挥。
例5(重庆)为保护长江，减少水土流失，我市某县决定退耕还林，从1995开始在坡荒地上植树，每年改造坡荒地，相同面积的树比上一年多。由于自然灾害、树木成活率和人为因素，每年都会产生同样数量的新坡地荒地。下表为三年(1995、1996、1997)坡荒地面积和植树面积统计数据。假设所有的坡荒地都种上了树，就不会有水土流失。什么时候全县的坡荒地都能种上树？
1995
1996
1997
每年植树面积(亩)
100
1400
1800
植树后，该机关将报告坡荒地的面积(亩)
25200
24000
22400
(2)为节约用水，本市规定本厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超出部分按每吨40元收取。已知该厂日用水量不少于20吨，该厂日用水量为t吨，当日赚取的利润为W元。求W和T的关系；工厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，不低于20吨，寻求工厂日利润范围。
解法:(1)设y=kx+b，根据题意:
推出，
推导出y=-x+204
当x=10，y=194，即每吨10元时，用1吨水生产饮料的利润为194元。
(2) y=-x+204由(1)可知，当x=4时，y=200，当x=40时，y=164。
∴w=200×20+164(t-20)=164t+720(t≥20)
∴t=，从20≤t≤25，也就是
20≤≤25,
推导出4000≤W≤4820
即工厂日利润不低于4000元，不高于4820元。
评价；本题涉及不等式、方程、函数的综合。
例7。济南某班布置春节联欢晚会场地时，需要将直角三角形彩纸剪成长短不一的彩色短条，如右图所示。Rt△ABC中∠c = 90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁出宽度为1cm的矩形彩条a1，a2。
甲、乙、二十五、二十六、二十七
解析:设n个矩形条被切割，如图，设第n个矩形的长度EF=x，则
,
X=(30-n)，且x≥5，
即(30-n)≥5n≤26。
∴n=26，所以选(c)。
这是一道综合方程的不等式应用题。
例8。苏州某园门票10元一张，可使用一次。考虑到人们的不同需求，为了吸引更多的游客，园方不仅保留了原有的售票方式，还引入了“购买个人年票”的售票方式(个人年票自购买之日起，持票人可使用一年)。年票分为A、B、C三类:B类年票60元，持票人入园时需要购买每张2元的门票；C类年票每张40元。持票人入园需购买每张3元的门票。
(1)如果你只选择一种买票方式，你打算一年花80元买园方的门票，那就试着通过计算找出能让你进园次数最多的买票方式。
(2)一年至少要进几次园的时候，买A类票是不是更划算？
分析:问题(1)是用80元买门票，通过比较三种形式选择最佳的入园次数最多的方式，明显排除了A类年票；
如果选择B类年票，次数为
=10(次)；
如果选择C类年票，次数是
=13次；
没有买年票的，只能边买边进。
=8次
经过以上对比，购买C类年票入园次数为13次。
问题(2)涉及不平等。如果购买至少x次的A类机票更经济，有:
所以一年入园至少30次，买A类票比较划算。
本例以旅游业为背景，借助不等式知识为旅游业提供经济的消费决策。像这种不等式的应用题在以往的中考题中很少见到。
例9:(广州)车站检票开始，有一名旅客在候车室排队检票。检票开始后，仍有乘客前来检票。假设旅客以固定速度增加，检票口检票速度也是固定的。如果打开一个检票口，需要30分钟才能完成所有乘客排队检票。如果打开两个检票口，只需要10分钟就可以检查完所有排队的旅客。如果要在5分钟内检查完所有排队检票的乘客，至少要同时打开多少个检票口，才能让后来到站的乘客当场检查？
分析:这种情况下很难建立数学模型，涉及到乘客数量、检票速度、打开的检票口数量。然后明确平等关系(等式)和不平等关系(不等式)。我们先把陆续进站的旅客人数设为每分钟x人，在每个检票口每分钟检查y人。要在5分钟内同时打开n个检票口，问题的意思是:
①-②简化:y=2x，
代入①，a=30(y-x)=30x。
将y=2x和a=30x代入③，
35x≤10nxn≥3.5n=4
在这种情况下，以旅客检票为背景，运用方程、不等式等数学知识，为了疏导客流，合理安排检票口，为旅客提供优质高效的服务，进行最优决策。这种以不等式作为中考题压轴的应用题，以前从未出现过，在中考历史上还是第一例。
示例10。某市(陕西)出租车起步价10元(即行驶5公里以内车费10元)。达到或超过5km后，每增加1km，票价增加1(不足1km，为1 0.2元)。
解析:若A到B的距离约为xkm，则:
16 < 10+(x-5)×1.2≤17.210 < x≤11
即从A到B的长度约为10到11 km。
示例11。(某市)某通信公司规定，业务网内通话资费为:通话前3分钟0.5元，超过3分钟通话每分钟加0.1元(不足1分钟按1分钟计算)。一个人的一次性话费是1.65438+。
分析:让这个人说x分钟，然后:
1 < 0.5+(x-3)×0.1≤1.18 < x≤9 .
也就是这个人的通话时间大概是8分钟到9分钟。
示例12。来自某市(甘肃省)的20名下岗职工在郊区承包了50亩地办起了农场。这些土地可以种植蔬菜、烟叶或小麦。工人数量和每亩这些作物的产值预测如下:
作物品种
每亩土地的从业人数
每亩土地的估计产值
蔬菜
1100元
烟叶
750元
小麦
六百元
请设计一个种植方案，让每亩地都可以种庄稼，20个员工有工作，估计庄稼总产值最多。
解析:让我们分别种植x亩、y亩和(50-x-y)亩的蔬菜、烟叶和小麦。
x+y+(50-x-y)=203x+y=90y=90-3x
假设估算的总产值为W(元)，则
w = 1100 x+750(90-3x)+600(50-x-90+3x)
然后代入y=90-3x。
W=50x+43500
这是一个关于X的线性函数，其最大值取决于X的值域，关键在于如何列出关于X的不等式，反复复习题意发现有
y=90-3x≥00 这时x取最大值30，代入。 W max =43500+50×30=45000(元)， 所以我想出了一个计划: 不种烟叶，种30亩蔬菜20亩小麦，安排15民族蔬菜，5民族小麦可以获得最大的经济效益。 这是一个决策测试，不等式的应用对最佳方案的决策有重要作用。