开放画笔:《信号与系统:Lec #5 LTI系统的性质》第二章
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卷积运算符合交换律，即
对于LTI系统，输入为、单位冲激响应为的输出与输入为、单位冲激响应为的LTI系统的输出完全相同。连续时间和离散时间是一样的。
卷积运算符合分布率，即
根据卷积运算的分配率，可以得出LTI系统的并联可以用单个LTI系统来表示，这个单个LTI系统的单位冲激响应等于所有LTI系统并联的单位冲激响应之和。
同时，利用交换定律和分配率，还有
上述两个方程表明，LTI系统对两个输入之和的响应等于系统对单个输入的响应之和。
卷积运算符合结合律，
对于LTI系统，任何数量的LTI系统的级联顺序都不会影响系统的最终输出。
结合律的应用必须满足线性和时间不变性的条件。
如果是，那么这个系统就是一个身份系统，输出等于输入。
上述公式也反映了单位脉冲函数的筛选性质。
LTI系统的逆系统仍然是LTI系统。
假设LTI系统的单位冲激响应是逆系统的单位冲激响应是LTI系统与其逆系统的级联应该是一个恒等系统，那么
因果离散LTI系统的单位脉冲响应需要满足
也就是说，因果LTI系统的脉冲响应在脉冲之前必须保持为0。
线性系统的因果性等价于初始静止，即如果一个因果系统在某个时间点之前输入为0，那么在该时间点之前输出也一定为0。
因果关系和初始松弛条件只适用于线性系统。
对于因果LTI系统，卷积计算的上限和下限可以改变如下。
对于离散时间LTI系统，如果单位脉冲响应是绝对可和的，也就是说，
那么它是有界的，即系统是稳定的。
连续时间LTI系统类似于离散时间条件，如果它的单位脉冲响应是绝对可积的，也就是说，
那么系统是稳定的。
单位阶跃响应是系统输入时的输出响应。
此外，根据卷积计算的交换律，
也就是说，单位阶跃响应是输入为0，单位冲激响应为0的LTI系统的输出响应。值得注意的是，累加器的单位冲激响应为，那么根据累加器的输入输出函数，
根据累加器系统的逆系统，系统的单位脉冲响应可以从单位阶跃响应中恢复，即
连续时间LTI系统是类似的，
即输入为零时单位冲激响应为输出响应的积分器，那么根据积分器的输入输出函数就可以得到LTI系统单位阶跃响应的表达式。
由单位阶跃响应恢复单位冲激响应的方法类似于离散时间，可以得到一阶导数。
这是一个LTI系统，其单位脉冲响应为，
这是一个LTI系统。假设初始松弛，单位脉冲响应为:
这是一个LTI系统，假设初始松弛，单位脉冲响应为，
我认为这部分更难。我用完全不同的方式使用卷积，从另一个角度看单位冲激函数。考虑一个问题，LTI系统对理想化信号的响应是如何表征的，或者说这些理想化的信号(单位脉冲信号和奇异函数)是如何凭借它们与其他信号在卷积意义上的特征来定义的。
单位脉冲是身份系统的单位脉冲响应，即
如果有，那就有。
回头看第1章，它将被视为一个短脉冲，宽度为，高度为，
功能图像如下图所示。
如果把它看成时间的极限，可以发现时间的极限也是单位冲量。
也可以证明时限还是单位冲量。
事实上，在时间的限制下，有无数的信号表现得像一个脉冲信号。
表现得像一个脉冲信号是非常重要的，这意味着LTI系统对这些信号的响应本质上是相同的，前提条件是足够小。
参考p.80和p.81的例2.16可以发现，当足够小时，系统对这些信号的响应趋于一致。
通过例2.16我们发现，当它足够小时，LTI系统对、、等信号的响应接近脉冲响应。那么我们有理由认为脉冲函数可以由LTI系统的响应来定义。
虽然我们通常用每个时刻的值来定义一个信号，例如。但对于单位冲量，我们不关心每一时刻的函数值，而主要考虑LTI系统对它的响应，换句话说，我们考虑它在卷积下的行为。
定义为信号，对于任何输入，有
这是单位脉冲信号的运算定义。
单位脉冲函数的面积等于1。可以证明，let，即一个常数函数，那么
考虑一下LTI系统
这种系统的单位冲激响应是单位冲激的导数，称为单位冲激对。使用卷积，有
我们把上面的公式作为的运算定义。
同样，我们定义二阶导数，考虑二阶导数系统，
二阶导数是一阶导数的导数，
然后我们可以定义由任意数量的微分器级联而成的系统的单位脉冲响应，
和单位冲量函数一样，我们尝试计算单位冲量力偶的面积，假设，
所以单位冲击力偶的面积等于0。
看到单位脉冲信号的导数后，我们再来思考单位脉冲信号的多重积分。
单位步长是积分器的单位脉冲响应，
回想一下，单位阶跃信号表示为，因此，
同样，我们定义一个由两个积分器级联而成的系统，其单位冲激响应表示为:
上述信号称为单位斜坡函数。
所以操作的定义是，
同样，定义了由任意数量的积分器级联而成的系统的单位冲激响应。
我们发现，与单位冲量的导数不同，单位冲量的多重积分仍然可以定义在每个值上。
为了符号的统一，我们定义
时间是微分器级联，时间是积分器级联。
微分器是积分器的逆系统，所以
使用我们新定义的统一符号，有
更一般地说，