直线和椭圆方程高考试题

试题分析:(一)根据椭圆有两个顶点A (-1，0)和B (1，0)，焦点F (0，1)可知，椭圆的焦点在Y轴上，b=1，C = 65438。

(二)根据直线L通过其焦点f (0，1)的方程，可得点P的坐标，该点与椭圆在C、D处相交，与直线AC、BD在Q处相交，可得直线AC、BD的方程。通过求解这个方程组，可以得到Q点的坐标，通过代入可以证明结论。

(I) ∵椭圆的焦点在Y轴上，椭圆的标准方程为(a > b > 0)。

已知B=1和c=1，所以a=，

椭圆的方程式是，

当直线l垂直于x轴时，不符合题意。

设直线L的方程为y=kx+1，C(x 1，y 1)，D(x ^ 2，y ^ 2)，

将直线L的方程代入椭圆圆的方程简化为(k 2+2) x 2+2kx-1 = 0，

那么x 1 +x 2 =﹣ |，x 1？x 2 =﹣，

∴|CD|= =

= = ,

解是k =。

∴线l的方程是y = x+1；

(二)证明当直线L垂直于X轴时，与题意不符。

设直线L的方程为y=kx+1，(k≠0，k ≠ 1)，C(x 1，y 1)，D(x ^ 2，y ^ 2)，

∴点p的坐标是(∴ 0)，

从(I)中，我们知道x 1 +x 2 =﹣，x 1？x 2 =﹣，

而直线AC的方程是y=，直线BD的方程是y=，

合并两条直线，去掉y，

∫~ 1 < x 1，x ^ 2 < 1，∴与异号、

=

= ,

y 1y ^ 2 = k ^ 2 x 1 x ^ 2+k(x ^ 1+x ^ 2)+1 ==﹣

∴与y 1 y 2符号不同，符号相同，

∴ =，x = ∴ k，

所以Q点的坐标是(-k，y 0)，

=(﹣ ,0)?(﹣k,y 0 )=1，

所以它是一个固定值。

点评:这个问题比较难。它考察了椭圆的标准方程，简单的几何性质，直线和圆锥曲线之间的位置关系。它是一道综合试题，考查学生运用知识解决问题的综合能力，体现了分类讨论、数形结合的思想。