大二数学分析与解答

2.顺序{an}，根据题意，an = √[ 2a(n-1)]=√2 *√a(n-1)。

a(n-1)=√2*√a(n-2)

......

a3=√2*√a2

a2=√2*√a1

因为a1 = √ 2

a3 & lt√2*√2=2

......

安& lt√2*√2=2

所以0

an-a(n-1)=an-(an^2)/2=(-1/2)*(an-1)^2+1/2

因为0

所以{an}是一个单调递增的序列。

根据单调有界序列必有极限的定理，序列{an}的极限是存在的。

设数列{an}的极限为a。

an^2=2a(n-1)

当n->；∞，A ^ 2 = 2a，A=2或0(截断)

所以数列{xn}的极限是2。

3、x(n+1)=-axn^2+2xn=-a(xn-1/a)^2+1/a<；=1/a

xn=-a[x(n-1)-1/a]^2+1/a

......

x3=-a(x2-1/a)^2+1/a

x2=-a(x1-1/a)^2+1/a

因为0

0 & ltx3 & lt1/a

......

0 & ltxn & lt1/a

所以{xn}是有界序列。

x(n+1)-xn=-axn^2+xn=-a(xn-1/2a)^2+1/4a

因为0

所以{xn}是一个单调递增的序列。

根据单调有界序列必有极限的定理，序列{xn}收敛。

设数列{an}的极限为a。

x(n+1)=-axn^2+2xn

当n->；∞，a =-aa 2+2a，A=1/a或0(略)。

所以数列{an}的极限是1/a。