初中数学解题:2021八省联考立体几何大题

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种曲面空间的运用。描述空间的曲率是几何研究的重要内容。规定多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差(多面体的内角称为多面体的面角，角度采用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率为零。多面体的总曲率等于多面体顶点的曲率之和。比如正四面体每个顶点有三个面角，每个面角为，那么正四面体每个顶点的曲率为，那么它的总曲率为。

(1)求四个金字塔的总曲率；

(2)若多面体满足:顶点数-边数+面数=2，则证明该多面体的总曲率为常数。

回答问题1

四角锥有五个顶点和五个面，包括1个四边形和四个三角形，它们的面角之和为=

总曲率=

回答第二个问题

如图所示，平面上的一个N边多边形，取多边形中任意一点Q，可以分成N个三角形。因为任意一个三角形的内角之和等于180度，所以这些三角形的内角之和等于:由于Q点仍有一个角，所以N边形的内角之和等于:，即:。

对于多面体的每个面，可以得到三角形的个数=边数× 2。

可用角度数=面数

根据曲率公式，

总曲率=顶点数-(边数-面数)=(顶点数-边数+面数)

证明是完整的。

回归教材

多边形内角之和是几何中的一个基本问题。人教版数学-八年级(第21页)第11章的题目是:多边形内角之和。

可以看出，这个问题属于:基本概念和基本方法。

提炼和改进

为什么很多同学觉得这个问题很难？原因是它太基础了，经过大量重复的机械训练，学生无法用基本的方法解决问题。当你遇到这样一个不依赖所有“问题”的问题时，你无从下手。

为了成功回答这个问题，候选人必须通过几个级别:

1)理解题目的关键是理解一个新概念:多面体的曲率在几分钟内。

2)掌握多边形内角和公式的推导过程，而不仅仅是结论。

3)经过观察归纳，得出三角形个数=边数×2。这个不难，但现实中，有些人就是做不到。

多年来，中学数学教学中存在着理论与实践脱节的倾向:专家不断强调数学思想和方法；中学老师一直带着学生拼命刷题。

八省联考数学给大家传递了一个信号:求婚的方式有很多种。在不大改高考制度的前提下，加强对学生能力的考查是完全可以的。

对于准备考试的学生和老师，我的建议是:

1)多思考，多总结；千万不要瞎做题。

2)花点时间看课本，包括初高中课本，都会用到。