如何求一个等差数列和一个等比数列的每一次乘法的和？

魏凤玲

关键词:级数求和、一般分式法、错位减法、逆向加法、分组法、分组法、归并法

数列是高中代数的重要内容，也是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中发挥着重要作用。数列求和是数列的重要内容之一。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列求和都需要一定的技巧。这里就根据之前的几个高考题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

1.用普通求和公式求和

利用以下常见求和公式求和是数列求和最基本也是最重要的方法。

1，等差数列求和公式:

2.等比数列求和公式:

自然数的幂和公式:

3、 4、

5、

【示例】Sum 1+x2+x4+x6+… x2n+4 (x ≠ 0)

解:∵x≠0

∴这个级数是一个第一项为1，公比为x2的几何级数，它有n+3项。

当x2 = 1，即X = 1时，和为n+3。

评论:

(1)利用等比数列求和公式。公比用字母表示时，是否为1要讨论。如果这个问题是以“等比”的形式，没有指定为几何级数，那么x是否为0也要讨论。

(2)求数列* * *，有多少项，最后一项不一定是第n项。

对应高考题:设数列1，(1+2)，…，(1+2+)，…的顶和为的值。

二、错位减法求和

错位减法的和在高考中占有非常重要的位置，近几年的系列高考题都表现了这个内容。我们需要学生认真掌握这种方法。这种方法用于推导几何级数的前n项和公式。这种方法主要用于求数列{an bn}的前n项和公式，其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列。求和时，一般是在已知求和公式的两边，乘以构成这个数列的几何级数的公比；然后，将新的和与原和相减，转换成倍数相同的几何级数和。这种方法叫做错位减法。

【示例】Sum:()...................①

解:根据问题，{}的通项是等差数列的通项{2n-1}和几何级数的通项{}的乘积。

一组...................(二)(设定系统错位)

①-②(错位减法)

利用等比例数列的求和公式，我们可以得到:

∴

注意，1是公比x为1时的特例。

2错位减法要注意最后一项

这类问题的特点是数列乘以一个等差数列和一个等比数列的对应物。

对应高考题:设正项几何级数的第一项与前n项之和为，与。(I)的一般术语；(ⅱ)前n项之和。

第三，逆序加法

这是用来推导等差数列前n项求和公式的方法，即把一个数列逆序排列(逆序)，然后加到原数列上得到n .

[示例]验证:

证明:假设

将公式①的右边颠倒过来

(顺序相反)

也有

…………..……..②

①+②(逆序求和)

∴

第四，分组求和

有一种级数，既不是等差数列，也不是等比数列。这类数列如果适当分解，可以分成几个等差数列、等比例数列或普通数列，然后分别求和，合并。

如果数列的通式为，其中一个是等差数列，一个是等比数列，一般用分组组合法求和。

【例题】:求一个数列的前n项之和；

解析:数列通式为，而数列为等差数列和等比数列，一般采用分组组合法求和；

【解决方法】:因为，所以。

(分组)

前一个括号是等比数列的和，后一个括号是等差数列的和。因此，

动词 （verb的缩写）分裂项求和法

这就是分解组合思想在级数求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每一项(通项)进行分解，然后重新组合，使其可以剔除部分项，最终达到求和的目的。一般术语分解(拆分术语)如下:

(1) (2)

(3) (4)

(5)

求一个数列的前n项之和。

解答:假设(分裂术语)

Then(拆分项的总和)

=

=

总结:这种变形的特点是原系列中的每一项拆分成两项后，中间的大部分项相互抵消。只剩下几样东西了。

注:其余项目具有以下特征。

1剩余项前后位置对称。

其余各项的正负是相反的。

【练习】在序列{an}中，求序列{bn}的前n项之和。

六、合并求和法

对于一些特殊的数列，将一些项目合并在一起有一些特殊的性质。所以在求级数和的时候，可以先把这几项加在一起，再求Sn。

[示例]在所有项都是正数的几何级数中，如果是值。

解决方案:假设

从几何级数的性质(寻找特殊性质)

和对数运算特性。

(总和)

=

=

=10

数列求和的方法有很多种，在高考中的重要性也是显而易见的。我们学生在学习中一定要掌握几个基本方法，解题中比较容易解决数列问题。