高中数学竞赛应该掌握哪些定理？

中国数学会普及工作委员会制定

(2006年8月第14次全国数学普及工作会议讨论通过)

自1981由中国数学会普及委员会举办全国高中数学联赛以来，在“在普及的基础上不断提高”的方针指导下，全国数学竞赛方兴未艾，一年一度的竞赛吸引了广大青少年学生的参与。从65438年到0985年，中国步入国际数学奥林匹克，加强了课外数学教育的国际交流。在过去的20年里，中国已经成为国际数学奥林匹克的强国之一。数学竞赛对开发学生智力、开阔视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才有积极作用。这项活动也激发了青少年学习数学的兴趣，吸引他们积极探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能表明，这一活动已成为中学数学教育的重要组成部分。

为使全国数学竞赛持续健康发展，中国数学会普及委员会制定了1994高中数学竞赛大纲。该大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了良好的指导作用，使我国高中数学竞赛活动越来越规范化和标准化。

近年来，课程改革的实践在一定程度上改变了我国中学数学课程体系。

内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛的发展，对竞赛题所涉及的知识、思想和方法也有了一些新的要求。为了使新的高中数学竞赛大纲更好地适应高中数学教育的发展和要求，经过广泛征求意见和多次讨论，中国数学会普及委员会组织对高中数学竞赛大纲进行了修订。

本教学大纲以教育部2000年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》的精神和基础为依据。教学大纲指出:“促进每一个学生的发展，既要为全体学生打好基础，又要注重发展学生的个性和特长；".....在课内和课外教学中，宜从学生实际出发，兼顾学习困难和有余力的学生，通过多种途径和方法满足他们的学习需求，发展他们的数学才能。"

学生的数学学习活动应该是一个生动活泼、个性化的过程，不应局限于接受、记忆、模仿和练习，还应提倡阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流，这些都有助于充分发挥学生学习的主动性。教师要根据学生的不同基础、不同层次、不同兴趣、不同发展方向给予具体指导。教师要引导学生积极从事数学活动，让学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师要激发学生的学习热情，为他们提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，从而获得丰富的数学活动经验。对于有余力学习并对数学有浓厚兴趣的学生，教师应该给他们设置一些选修内容，提供足够的材料指导他们阅读，发展他们的数学才能。

教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》所列的内容，是教学的要求，也是竞赛的基本要求。在竞赛中，对于同样的知识内容，在理解、灵活应用能力、方法技巧的熟练程度等方面都有更高的要求。“课堂教学为主，课外活动为辅”也是应该遵循的原则。因此，本大纲所列内容充分考虑了学生的实际情况，旨在使不同水平的学生在数学上得到相应的发展，同时注意贯彻“少而精”的原则。

全国高中数学联盟

全国高中数学联赛(试行)涉及的知识范围没有超出教育部2000年《全日制

普通高中数学教学大纲规定的教学要求和内容，但对方法的要求有所提高。

全国高中数学联赛测试

全国高中数学联赛考试(二测)与国际数学奥林匹克接轨，有一定的知识性。

扩张；适当增加一些教学大纲以外的内容，增加的内容是:

1.平面几何

几个重要定理:梅内利奥斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆森定理。

三角形中的几个特殊点:仿中心、费马点和欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换:对称、平移和旋转。

圆的幂和根轴。

面积法，复数法，向量法，解析几何法。

2.代数学

周期函数，有绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归序列及其性质，一阶和二阶常系数线性递归序列的一般公式。

第二个数学归纳法。

均值不等式，柯西不等式，秩不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式，三角形式，欧拉公式，季莫夫定理，单位根。

多项式除法定理，因式分解定理，多项式等式，整系数多项式的有理根*，多项式插值公式*。

n次多项式的根的个数，根与系数的关系，实系数多项式的虚根配对定理。

函数迭代，简单函数方程*

3.初等数论

同余，欧几里德除法，裴树定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马大定理，格点及其性质，无穷下降法，欧拉定理。孙子定理。

4.组合问题

循环排列，重复元素的排列组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

鸽笼原则。

排斥原则。

极端原则。

图论问题。

集合的划分。

掩护。

平面凸集、凸包及其应用。

注:标有*的内容不会在加试中测试，但可能会在冬令营中测试！