期末高数试卷。

1.有界序列不一定收敛；

(1)举个例子？A={1，-1，1，-1，1，-1，....？}?即。An = (-1) n(负1的n次方)

当n→∞时，An在1和-1之间跳跃，不收敛到某个值。

对于任意n呢？|An|≤1，所以序列A有界。

这说明有有界序列但不收敛。

②收敛序列一定有界！

设序列Bn在n→∞时收敛于b

证明序列Bn有界；

通过反证法:假设序列Bn是无界的，有:

根据Bn convergence，有:

所以，序列Bn是无界的！

所以收敛序列一定是有界的！

只举一个既收敛又有界的例子:(替换第2部分，对你来说太难了)

如果Bn=0，恒定在0，那么| bn | < 1明显有界，当n→∞时Bn=0，明显收敛。

所以有界序列不一定收敛。

2.

设函数g(x)=f(x)-f(-x)

而f(x)的定义域是(-∞，+∞)。

所以g(x)的定义域也可以设为(-∞，+∞)。

∫g(-x)= f(-x)-f(-(-x))= f(-x)-f(x)=-g(x)

所以，如果g(x)是奇函数，它的像关于原点(0，0)是点对称的，又因为x=0在g(x)的定义域内，所以g(x)必经过原点。

3.

因此，函数y=x+4/x分别在(-2，0)和(0，2)的区间内单调递减。