高考向量题

(1)矢量不同于量，量是只有大小的量(称为标量)，而矢量既有大小又有方向；量可以比大小，向量不能比大小，只有它的模可以比大小。“>”这个标记是错误的，但是|| | |是有意义的。

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关。因为所有的矢量都有其* * *性质(力和方向)，所以我们只研究与起点无关的矢量(即自由矢量)。当遇到与起点相关的向量时，我们可以对向量进行平移。

⑶平行向量(即* *线向量)不一定相等，但相等的向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件。

(4)单位向量是模为1的向量，其坐标表示为()，其中，满足= 1(可表示为(cos，sin)(0≤2π))。

5.零向量的长度为0，是有方向的，方向是任意的。实数0只是一个无向实数。

有向线段是向量的表示，不代表向量就是有向线段。

2.与向量运算相关的问题

⑴向量和向量的和仍然是向量。

(1)当两个向量之和不是* * *线时，的方向与和的方向不同，且|||

②当两个向量和* * *线同向时，、和的方向相同，和；

(3)向量和方向相反时，若|| >||，则方向相同，且| | = | |-| | |；

如果||

⑵向量和向量的区别还是向量。向量减法的本质是加法的逆运算。

⑶圆内首尾相连的向量(用有向线段表示)之和为零。

例如，，(在△ABC中)

。(在□ABCD中)

(4)判断两条向量线的注意事项

若两个非零向量，，make =λ (λ∈R)，则‖；

另一方面，如果‖且≠0，则= λ。

这里在“反之”中，非零矢量没有指出，因为=0时，平行于λ的方向。

数量乘积的8个重要性质。

(1)两个向量之间的夹角为0≤ ≤π。因为矢量数量积的几何意义是一个矢量的长度乘以另一个矢量的投影值，其投影值可以是正的、负的、零的，所以矢量数量积是一个实数。

(2)设，是非零向量，是单位向量，是夹角，则

③ (∵ =90 ,

④在实数运算中=0 =0或b=0。在向量运算中= =或=是错误的，所以或是=0的充要条件。

⑤同方向as = (=0，cos =1)时；

=- (=π，cos =-1)，即‖，的另一个充要条件是。

特殊情况是=。

或者= = =。

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(，)和(，)，则=

⑥ 。(原因)

⑦数量积不适合乘法结合律。

如(因为用* * *线，又用* * *线)

数量乘积消去法无效。

如果、和都是非零向量，无法得到，那就没有意义，因为向量是不可分的。

6.平面向量基本定理与平移的相关问题。

⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，说明同一平面内的任意向量都可以表示为另外两个非* *线向量的线性组合。

⑵结合物理学中力的分解模型可以理解平面矢量的基本定理。

(3)点平移公式:

该点被给定的平移向量平移后新点的坐标公式为

相反，由新点求旧点的公式变成

根据新旧点寻找平移向量的公式为

(4)图像(图形)翻译:

给定平移向量=，从旧的解析公式中找出新的解析公式，并使用公式

代入旧解析式，整理出来；

从新的解析公式中找到旧的解析公式，并使用该公式

代入新的样式，得到它。

应用上述公式时，需要注意的是，公式中平移前的坐标、平移后的坐标和平移矢量坐标都在同一个坐标系中。

通常，以下两种方法可用于确定平移矢量:

一、匹配法:根据题目要求进行匹配，如果简化，可以匹配为:那么公式为此时的平移向量为

二、待定系数法:按要求代入公式，然后根据题目要求求。

经典例子

例1是非* *线的两个矢量，

已知的

如果三点* * *线，求值。

因为三点* * *线，必然有一个实数，这样关于的方程就可以根据已知条件和向量相等的条件得到，从而找到。

解:省略∴ =-1。

评论

利用向量* * *线的充要条件，有时很容易解决几何中的三点* * *线问题。

例2证明了三角形的三条高线相交于一点。

思路分析利用“形”与“数”相结合的方法，通过直角坐标系将几何图形数字化，可以更简洁、更容易地解决这个问题。

证明直角坐标系成立，如图。

设置

所以是世界之最，所以三个高度交汇于一点。

评论这个问题，两条直线是否垂直的问题转化为两个非零向量的乘积是否为零的问题。

实施例3已知载体

符合条件，

证明:△是正三角形。

通过分析观察条件中的两个方程，并联系向量模和加法的几何意义，可以构造一个图形证明，如图1。根据条件，很容易知道O为不动点，所以可以适当选择坐标系，借助向量坐标运算，几何问题可以代数化，如图2所示。如果任意选取，巧妙利用三角形变形，可以证明边或角之间的关系可以展开。

方法一:如图1。

证明方法2如图2所示。

证明三:根据|| =，

制造

允许

可以得到|| =，所以是正三角形。

证明方法4:设置

由已知的|| =，它是一个正三角形。

证明5:由同样的证明4得到，so = so，可以证明为正三角形。

点评以上五个证明，不仅实现了向量重要知识的大集合，而且通过向量、三角形、几何的联姻，开阔了学生的视野，培养了学生综合运用知识的能力。

例4如图所示，已知点是△的重心。

(1)寻求；

2如果重心δ，验证:

思路分析充分利用了向量的几何运算，向量平行性的定理和推论，相关向量可以用已知向量表示。

解决方案:(1)

2.明显地

因为它是重心，

所以=

从三个点有一条* * *线，所以实数只有一个。

并且=-=

,

因此

=.而且因为，不* * *行，所以

，淘汰，整理3 =，因此。

建立评论和之间关系的关键是从三点* * *线中得出的。所以要巧妙地用已知向量来表示未知向量。

例5如图所示，直三棱柱的底、、∞、边分别是. z的中点。

(1)求长；

(2)求的值；

(3)验证⊥.

思路分析建立一个以空间坐标系为原点，写出相关点的坐标，进行相关运算。

解决方法:如图，以原点建立一个空间直角坐标系O-。

(1)根据题意，是= (0，1，0)，= (1，0，1)。

∴| |=

= .

⑵根据题意得到A1 (1，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B1 (0，1，2)。

∴ =(1,-1,2), =(0,1,2).

| |= ,| |= ,

∴ 〈 , 〉 =

(3) Get (0，0，2)根据题意，m(

=(-1,1,-2), =( .

= .

∴ ⊥ ,∴ ⊥C。

这类题的关键是利用题中已知的条件，选取合适的点建立空间坐标系，写出对应点的坐标。

例6四角锥P-ABCD中，底ABCD为平行四边形，= {4，2，0}，= {-1，2，-1}。

(1)验证:底部pa⊥ABCD；

⑵求金字塔P-ABCD的体积；

(3)定义向量的运算:

( × =

试计算(×)的绝对值；解释它与金字塔的P-ABCD体积的关系，猜测向量的运算(×)的绝对值的几何意义。

思路分析是基于给定向量的坐标，结合算法。

解决方案:(1) ∵∴美联社⊥ AB

∵ AP⊥AD,∵AB和AD是底部ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底部ABCD。

⑵如果与的夹角为，则

V= | | |=

⑶|( × ) |=|-4-32-4-8|=48.

是四角锥P-ABCD体积的三倍。

猜测:| (×) |可以几何表示以AB、AD、AP为边的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为边的正四棱锥的体积)。

点评本题目考察空间向量的坐标表示，空间向量的量积，空间向量垂直的充要条件，空间向量夹角的运算公式，直线垂直于平面的判定定理，金字塔的体积公式等。

例7，如图，已知一个椭圆和一条直线:p为最后一点，射线OP与椭圆和点R相交，点Q在OP上，且满足| OQ ||| OP | =。当点P在L上运动时，求点Q的轨迹方程，说明轨迹是什么曲线。

思路分析会当作向量，所以是同向相切的。利用矢量线的充要条件和平面矢量的坐标表示，可以很快解决问题。

解决方案:假设

∵，同方向，和|OQ||OP|=

代入l方程(1)

同向性

代入椭圆方程(2)

从①和②看，不全是0)，点Q的轨迹是椭圆(不包括原点)。

点评以向量知识为主线解决解析几何问题，用向量坐标的形式表达已知条件，可以达到解题的目的。

例8从抛物线外的点P(a，b)画切线PA，PB。

①求切点A和B的坐标(其中A的x坐标大于B的x坐标)。

②获得的值。

③当∠APB为锐角时，求p点纵坐标的范围.

解法:①推导自=2x，故设切点的x坐标为，切线方程为。

由于这条切线经过点P，所以画出两条切线，所以>:0，所以切点的坐标是a。

②

④若∠APB为锐角，则有>；0，所以4b+1

热身冲刺

一、多项选择题

1.给定矢量和，以下等式成立()。

A.| | -| |=| |

B.

C.| |

D.

2.已知向量，其中满足条件的直线的向量* * *有()。

a . 16 b . 13 c . 12d . 9。

3.函数的图像经向量平移后，所得函数的解析表达式等于()。

A.B.

C.D.

4.已知若与的夹角为钝角，则的取值范围为()。

A.> B. ≥ < ≤

5.给定向量=和=的夹角为60°，直线与圆的位置关系为()。

A.相切b .相交c .分离d .取决于α和β的值。

6.平面上有A、B、C、D四个不同的点，已知规则的形状是()。

A.直角三角形b .等腰三角形c .等腰直角三角形d .等边三角形

7.已知D点在BC边上，其值为()。

A.公元前0年

8.给定A、B、C三点的* * *线，A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则A点的比值为()。

A.B. C. D。

9.下列说法正确的是()

A.任何三条非* *线的矢量都可以构成空间的一个底。

B.单位正交基中的基矢模是1，它们相互垂直。

C.没有* * *平面的三个向量可以构成空间的单位正交基。

d只要空间中的一个点p有三个有序实数x，y，z，y，z，使得o，a，b，c四个点满足，就形成了空间的一个底数。

10.同时垂直于的单位矢量是()

A.b .(c .()D . D .()或()

11.如果是，||的取值范围是()。

A.公元前(1，5)年

12.众所周知，如果* * *作用在一个物体上，将该物体从一点移动到另一点，合力所做的功是()。

A.10b . 12c . 14d . 16

2.填空

13.如果有一个实数…对于一个向量…不全是零，所以…，+成立，那么这个向量…叫做“线性相关”。按照这个规定，可以依次取能说明“线性相关”的实数。(只写一组值，不考虑所有情况)

14.如果矢量平移后直线与圆相切，则实数m的值等于。

15.已知，< 0，=

与的角度为。

16.如果已知，那么平行四边形的两条边又高又长。

三。解决问题

17.在平行四边形ABCD中，点A，点M是直线AB的中点，直线CM和BD相交于点p .

(1)如果找到c点的坐标；

⑵当|| = ||，求点p的轨迹.

18.已知并满足关系式:其中k > 0。

(1)用k表示

(2)求此时夹角的最小值和大小。C A

19.如图，正方形和等腰直角g。

△ ACB互相垂直，∠ACB=，e，f c a

分别是AB和BC的中点，G是点。这就去。

(1)如果你试图确定点的位置；B

⑵试求满足条件(1)时< >的值。

20.如图所示，已知三棱锥P-ABC在某

在直角坐标系中，P

(1)画出这个空间的直角坐标系，参考一个c。

与轴的正方向成一个角度。

(2)验证:B

(3)如果m是BC的中点，

求直线AM和平面PBC之间的角度。

回答

多项选择答案:

1.c；2.c；3.b；4.b；5.c；6.b；7.d；8.c；9.b；10.d；11.b；12.C

填空回答:

13.就写一组-4c，2c，c.55438+04.3或者13。

15.。16.；

问题的答案:

17.(1)设C点为()，即点。

(2)制定规则

=3

ABCD是菱形。

即

因此，点P的轨迹以(5，1)为圆心，以2为半径，去掉与直线y=1的两个交点。

18.(1)两边都是正方形，

也就是

因此，此时∴的最小值是，也就是与is的夹角。

19.(1)支一

以C为坐标原点，建立空间直角坐标。

是C-x，y，z，设AC = CB = a。

AG=x，那么A(0，A，0)，(0，0，A)，

G(0，a，x)，E()。

g是的中点。

〈 〉=

20.(1)取A为坐标原点O，AC为Oy轴，AP所在的直线为Oz轴，与Ox轴的正夹角为30°；

(2)通过去卡；

⑶即使是AM和PM，也可以证明∠AMP是AM与平面PBC所成的角，n=

因此，角度为45°。