角平分线定理的真题

利用平分线定理，我们知道AB/AC = BD/CD...(1)，并设角A的一半为A。

由余弦定理:CD 2 = AD 2+AC 2-2ad * AC * COSA...(2)

BD^2=AD^2+AB^2-2AD*AB*cosa……(3)

注意AB*CD=AC*BD可以从(1)得到。

因此得到(2)*BD-(3)*CD。

cd*bd*(cd-bd)=(ac-ab)*ac*bd-(cd-bd)*ad^2……(4)

将AC=(CD/BD)*AB从(1)代入(4)

CD * BD *(CD-BD)=(CD-BD)* AB * AC-(CD-BD)* ad2，两边截断(CD-BD)得到结果。

注意，当CD = BD时，要单独讨论(因为此时CD-BD = 0)

但此时ABC是等腰三角形，AD垂直于BC，即ADB是直角三角形，AB=AC，BD=CD，由勾股定理得出结果。