2010 amc12数学问题

因为第一跳的所有方向都是完全对称的，所以在任何方向上得到的概率都应该是一样的，所以不需要考虑第一步，只需要考虑第二步和第三步。

以起点为原点，以起点到第一步到达点的向量为X轴的单位向量建立平面直角坐标系，第一步到达点的坐标为(1，0)。

设第二步从X轴逆时针旋转X弧度(0 ≤ x < 2π)的方向跳出，第三步从X轴逆时针旋转Y弧度(0 ≤ y < 2π)的方向跳出，则第二步到达的点的坐标为(1+cos x，sin x)，第三步到达的点的坐标为(1+)。

要使青蛙跳跃后离其起点不超过一米，应该有(1+cos x+cos y)？+(sin x+sin y)？≤1，即(以下是简化过程):

1+2(cos x+cos y)+(cos x+cos y)？+(sin x+sin y)？≤1

1+2(cos x+cos y)+2(cos xcos y+sin xsin y)+2≤1

cos x+cos y+cos(x-y)+1≤0

2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]+2cos？[(x-y)/2]≤0

2 cos[(x-y)/2](cos[(x+y)/2]+cos[(x-y)/2])≤0

cos[(x-y)/2]cos(x/2)cos(y/2)≤0

由于0 ≤ x < 2π且0 ≤ y < 2π，0 ≤ x/2，y/2 < π，-π≤2(x-y)/2 <π。

因此.....(下面的简化过程应该比较简单，但是在电脑上打字有点累，就省略了)。最后，在平面直角坐标系(这是另一个坐标系，不是之前建立的坐标系)中，x和y的不相等关系得到的面积的面积是π？，且完备集{(x，y) | 0 ≤ x < 2π，0 ≤ y < 2π}的面积为4π？

所以概率p=1/4。