如何求数列的通式
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法称为定义法，适用于已知数列类型的问题。
示例1。等差数列是一个递增的数列，前n项之和为，就成了几何级数。求数列的一般公式。
让系列的公差成为
成几何级数，，
那就是，得到
∵ ,∴ ……………………①
∵
∴ …………②
从① ②:，
∴
点评:用定义法求数列通项时，要注意定义的正确，尽量先找到第一项和容差(公比)，再写出通项。
二、积累法
求an-an-1=f(n)形式的级数的通项(f(n)是算术或几何级数或其他可和级数)，可以用累加法，即让n = 2，3，… n-1得到n-1表达式得到通项。
例2。在已知序列{an}中，对任意自然数n存在a1=1，所以求。
众所周知，
,……,
, ,
上面的公式是累加的，使用-=
= ,
点评:累加法是通过反复利用递归关系得到n-1个表达式，从而得到通项。这种方法最后转化为{f(n)}的前n-1项之和，要注意求和的技巧。
第三，迭代法
求具有形状的级数的通项(其中它是常数)，可以用递归关系迭代求解。
例3。给定序列{an}满足a1=1，an+1 = +1，求。
an = 3an-1+1 = 3(3an-2+1)+1 = 32an-2+3 1+1 =…= 3n-1a 1+3n-2 1+3n-3 1+…+3 1+65438
点评:由于使用迭代法解题时有大量的数据，所以在计算时要小心，避免出现计算错误，导致死胡同。
四、公式法
如果已知一个序列的前件之和与的关系，则该序列的通项可用一个公式求解。
例4。已知序列的前件之和满足。求数列的通项公式；
经过
什么时候，有
……,
经过验证，也符合上述公式，所以
点评:用公式求解时，要注意N分类的讨论，但如果能写在一起，就一定要合并。
五、累积乘法
对于具有形状的数列的通项，通项可以通过n = 2，3，… n-1相乘得到n-1个公式。
例5。在已知的数列中，前件和之和的关系是，求通项公式。
允许
将两个表达式相减得到:，
,
将上面的n-1个等式相乘得到:
点评:乘法就是用递归关系将n-1个公式反复相乘，求通项。这个方法最后转化为{f(n)}的第n-1项的乘积，所以要注意乘积的技巧。
六、划分n宇称的讨论方法
在一些数列问题中，有时会对n的奇偶性进行分类讨论，以便于问题的处理。
例6。已知数列{an}，a1=1，anan+1=2，求通项公式。
当anan+1=2和an+1an+2=2相除，且get =，那么a1，a3，a5，…a2n-1，…和a2，a4，a6，…a2n，…都是男性。(2)当n是偶数时，的和。
点评:对n的奇偶性进行分类讨论的另一种情况是，当题目包含它时，把n分成奇偶性自然可以引出讨论。分类讨论相当于附加条件，把不确定性变成确定性。最后能合写的时候注意合并。这是近几年高考的新热点，比如2005年江西省的21题。
七。转化法
试图把非常规问题变成熟悉的数列问题来求通项公式的方法叫做化归法，也是我们在解决任何数学问题时必须要有的一种思想。
例7。已知序列满足
求安
当...的时候
将两边除以相同的数，
这是确定的，
∴等差数列，第一项为5，容差为4。
点评:借助等差数列得出的通式，此题是典型的化归方法。常见的约简方法有对数约简、待定系数约简等。，而且是高考中常用的方法，概括成几何级数或等差数列。
八、“归纳-猜测-证明”法
当难以直接求解或变形时，先求出数列的前几项，猜测通项，再用数学归纳法证明，即归纳-猜测-证明法。
例8。如果序列满足:计算A2，A3，A4的值，然后总结出an的公式，证明你的结论。
∫a2 = 2a 1+3×2 = 2×1+3×2，
a3 = 2(2×1+3×2)+3×21 = 22×1+2×3×21，
a4 = 2(22×1+2×3×21)+3×22 = 23×1+3×3×22；
猜安= 2n-1+(n-1)×3×2n-2 = 2n-2(3n-1)；
用数学归纳法证明:
1当n=1，A1 = 2-1× = 1时，结论正确；
2如果n=k，AK = 2k-2 (3k-1)是正确的。
当n=k+1时，
=结论正确；
从1和2可知n∈N*存在。
点评:使用“归纳-猜测-证明”法时，要小心猜测，不要猜错，否则之前的所有努力都白费了；用数学归纳法证明时，要注意格式的完备性，必须使用归纳假设。
九、待定系数法(构造法)
为了求一个递推公式的通项，如(p和q是常数)，我们可以用待定系数法把它化为一个众所周知的级数，这相当于换元法。
例9。已知序列{an}满足a1=1，an+1 = +2。
设置，然后，
对于几何级数，
,
点评:求一个递推数列的通项(p，q为常数)，可以用迭代法或待定系数法构造一个新数列an+1+ =p(an+)，也可以用归纳法-猜证法求，这也是近几年高考中考过很多的一类题。
示例10。已知序列满足。
把两边分在一起，得到并转化成。
那好吧。订单，
是的。条件可以转化为，
数列是第一项，是公差的几何级数。
因为，所以=
Get =。
点评:当递推公式为(p、q均为常数)时，可以除以相同，然后可以归为(p、q均为常数)。
示例11。已知序列满足寻找一个。
设置
扩张后，你必须。
离开，离开，
条件可以转化为
用第一项和容差求数列的几何级数。利用累加法将问题转化为求数列通项的问题，并求出解。
点评:当递推公式为(p、q为常数)时，可设，其待定常数S、T由计算，从而化简为上述已知问题。