高中所有函数图像
一.定义和定义:
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b
据说此时y是x的线性函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比函数。
即:y=kx (k为常数，k≠0)
二、线性函数的性质:
1.y的变化值与X对应的变化值成正比，比值为k。
即:y=kx+b (k为任意非零实数b，取任意实数)
2.当x=0时，b是函数在y轴上的截距。
三、线性函数的图像和性质:
1.实践和图形:通过以下三个步骤。
(1)列表；
(2)追踪点；
(3)连线可以做一个函数的形象——直线。所以一次函数的图像只需要知道2个点，把它们连成一条直线。(通常找到函数图像与X轴和Y轴的交点)
2.性质:(1)一次函数上的任意点P(x，Y)满足方程:y = kx+b. (2)一次函数与Y轴交点的坐标总是(0，b)，正比函数的像总是与X轴在(-b/k，0)处的原点相交。
3.k、B和函数图像所在的象限:
当k > 0时，直线必须经过第一和第三象限，y随x的增大而增大；
当k < 0时，直线必经过第二和第四象限，y随x的增大而减小。
当b > 0时，直线必须经过第一和第二象限；
当b=0时，直线通过原点。
当b < 0时，直线必须经过三个或四个象限。
特别地，当b=O时，通过原点o (0，0)的直线代表比例函数的图像。
此时，当k > 0时，直线只经过一个或三个象限；当k < 0时，直线只经过两个或四个象限。
四、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1，y 1)；B(x2，y2)，请确定过点A和B的线性函数的表达式..
(1)设一个线性函数的表达式(也叫解析表达式)为y = kx+b。
(2)因为线性函数上的任意一点P(x，y)满足方程y = kx+b .所以我们可以列出两个方程:y1 = kx1+b … ①和y2 = kx2+b … ②。
(3)解这个二元线性方程，得到k和b的值..
(4)最后得到线性函数的表达式。
五、线性函数在生活中的应用:
1.当时间t恒定时，距离s是速度v的线性函数..s=vt .
2.当水池的抽水速度f不变时，水池中的水量g是抽水时间t的线性函数，设定水池中的原始水量s。g = S-英尺.
6.常用公式:(不完整，希望有人补充)
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)。
2.找到平行于X轴的线段的中点:|x1-x2|/2。
3.找出平行于Y轴的线段的中点:|y1-y2|/2。
4.求任意线段的长度:√ (x1-x2) 2+(y1-y2) 2(注:根号下(x1-x2)和(y1-y2)的平方和)。
二次函数
一.定义和定义表达式
一般来说，自变量x和因变量y之间有如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，a决定函数的开方向，a >；0，开口方向向上，a
y称为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常是二次三项式。
二。二次函数的三种表达式
通式:y = ax ^ 2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)。
顶点:y = a(x-h)2+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点:y=a(x-x？)(x-x？)【仅当与x轴A(x？，0)和B(x？0)抛物线]
注:在这三种相互转化的形式中，有以下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x？，x？=(-b √b^2-4ac)/2a
三。二次函数图像
使二次函数y = x 2在平面直角坐标系中的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
四。抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴线是一条直线
x = -b/2a .
对称轴和抛物线的唯一交点是抛物线的顶点p。
特别是当b=0时，抛物线的对称轴是Y轴(即直线x=0)。
2.抛物线有一个顶点p，坐标为
p-b/2a ,(4ac-b^2)/4a
-b/2a=0时，p在y轴上；当δ = b 2-4ac = 0时，P在X轴上。
3.二次系数A决定了抛物线的开口方向和大小。
当a > 0时，抛物线向上张开；当a < 0时，抛物线向下打开。
|a|越大，抛物线的开口越小。
4.线性系数b和二次系数a***都决定对称轴的位置。
当a和b符号相同时(即AB > 0)，对称轴在Y轴上偏左；
当A和B的符号不同时(即AB < 0)，对称轴在Y轴的右边。
5.常数项c决定抛物线和Y轴的交点。
抛物线与y轴相交于(0，c)
6.抛物线和X轴的交点数量
当δ = b 2-4ac > 0时，抛物线与X轴有两个交点。
当δ = b 2-4ac = 0时，抛物线与X轴有1个交点。
当δ = b 2-4ac < 0时，抛物线与X轴无交点。x的值是一个虚数(x的值的倒数=-b√b ^ 2-4ac，乘以虚数I，整个公式除以2a)。
动词 （verb的缩写）二次函数和一元二次方程
特别地，二次函数(以下称为函数)y = ax 2+bx+c，
当y=0时，二次函数是关于x的一元二次方程(以下简称方程)。
也就是ax ^ 2+bx+c = 0。
此时，函数图像是否与X轴相交就意味着方程是否有实根。
函数和X轴的交点横坐标就是方程的根。
1.二次函数Y = AX ^ 2，Y = A (X-H) 2，Y = A (X-H) 2+K，Y = AX ^ 2+BX+C(各类中，a≠0)的像形相同，但位置不同。
解析顶点坐标对称轴
y=ax^2(0，0)x = 0
y=a(x-h)^2(h，0)x = h
y=a(x-h)^2+k(h，k)x = h
y=ax^2+bx+c(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)x =-b/2a
当h & gt0，将抛物线y = ax 2向右平行移动h个单位，可以得到y = a (x-h) 2的像。
当h < 0时，通过向左平行移动|h|个单位来获得。
当h & gt0，k & gt0，将抛物线y = ax 2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y = a (x-h) 2+k的图像；
当h & gt0，k & lt0，将抛物线y = ax 2向右平行移动h个单位，再向下移动| k个单位，得到y = a (x-h) 2+k的图像；
当h < 0，k >时；0，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，得到y = a (x-h) 2+k的图像；
当h < 0时，k & lt0，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，得到y = a (x-h) 2+k的图像；
因此，研究抛物线Y = AX ^ 2+BX+C(A≠0)的图像，并通过公式将通式变为Y = A (X-H) 2+K的形式，从而确定其顶点坐标、对称轴以及抛物线的大致位置，是非常清晰的，为绘制图像提供了方便。
2.抛物线y = ax ^ 2+bx+c(a≠0)的图像:当a >: 0时，开口向上，当a
3.抛物线y = ax ^ 2+bx+c(a≠0)，若a >；0，当x ≤ -b/2a时，y随着x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随着x的增加而增加，如果a
4.抛物线y = ax 2+bx+c的图像与坐标轴的交点:
(1)图像必须与Y轴相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△ = b 2-4ac >时；0，图像与x轴相交于两点A(x？，0)和B(x？0)，其中x1，x2是一元二次方程ax ^ 2+bx+c = 0。
(a≠0)。这两点之间的距离AB=|x？-x？|
当△ = 0时，图像与X轴只有一个交点；
当△ < 0时。图像与X轴没有交集。当A >时；0，图像落在X轴上方，当X为任意实数时，有y >；0;当a & lt0，图像落在X轴下面，当X是任意实数时，有y
5.抛物线的最大值y = ax ^ 2+bx+c:如果a & gt0(a & lt；0)，那么当x= -b/2a时，y的最小(大)值= (4ac-b 2)/4a。
顶点的横坐标是获得最大值时自变量的值，顶点的纵坐标是最大值的值。
6.用待定系数法求二次函数的解析表达式。
(1)当给定的条件是已知图像通过已知x和y的三个已知点或三对对应值时，解析式可设为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当给定条件为已知图像的顶点坐标或对称轴时，解析式可设为顶点:y = a (x-h) 2+k (a ≠ 0)。
(3)当给定的条件是已知图像与X轴两个交点的坐标时，解析式可设为两个公式:y=a(x-x？)(x-x？)(a≠0)。
7.二次函数的知识很容易与其他知识融合，产生更复杂的综合问题。所以基于二次函数知识的综合题是中考的热点题，往往以大题的形式出现。
反比例函数
y = k/x(其中k为常数，k≠0)形式的函数称为反比例函数。
自变量x的取值范围是所有不等于0的实数。
反比例函数图像属性:
反比例函数的图像是双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，用f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，反比例函数图像上的任意一点垂直于两个坐标轴，由这个点、两个垂足和原点围成的矩形区域是一个常值，这就是∣k∣.
如图，上面给出了k为正值和负值(2和-2)时的函数图像。
当k > 0时，反比例函数图像经过一个或三个象限，是减函数。
当k < 0时，反比例函数像经过两个或四个象限，是增函数。
反比例函数图像只能无限趋向坐标轴，不能与坐标轴相交。
知识点:
1.反比例函数图像上的任意一点都是两条坐标轴的垂直线段，这两条垂直线段和坐标轴围成的矩形的面积为| k |。
2.对于双曲线y = k/x，如果在分母上加减任意一个实数(即y = k/(x m) m为常数)，就相当于将双曲线图像向左或向右平移一个单位。(当添加一个数字时，向左移动，当减去一个数字时，向右移动)
对数函数
对数函数的一般形式是它实际上是指数函数的反函数。因此，指数函数中a的规定同样适用于对数函数。
右图显示了不同尺寸A的函数图:
你可以看到对数函数的图形只是指数函数关于直线y=x的对称图形，因为它们是互逆函数。
(1)对数函数的定义域是一组大于0的实数。
(2)对数函数的值域是所有实数的集合。
(3)函数总是通过(1，0)。
(4)当a大于1时，是单调增函数且凸；当a小于1且大于0时，函数单调递减且凹。
(5)显然，对数函数是无界的。
指数函数
指数函数的一般形式是，从上面对幂函数的讨论可以知道，如果X可以取整组实数为定义域，那么只需要作。
如图所示，a的大小不同会影响函数图。
你可以看到:
(1)指数函数的定义域是所有实数的集合，这里的前提是a大于0。如果a不大于0，函数的定义域内就不会有连续的区间，我们就不考虑了。
(2)指数函数的值域是一组大于0的实数。
(3)函数图是凹的。
(4)若a大于1，则指数函数单调递增；如果a小于1且大于0，则是单调递减的。
(5)我们可以看到一个明显的规律，即当a从0趋于无穷大时(当然不可能等于0)，函数的曲线分别趋于接近Y轴正半轴和X轴负半轴的单调递减函数的位置。水平直线y=1是从减少到增加的过渡位置。
(6)函数总是无限趋向X轴某一方向，永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)。
显然指数函数是无界的。
奇偶性
注意:(1)是奇数函数(2)是偶数函数。
1.定义
通常，对于函数f(x)
(1)若函数定义域中任意x有f (-x) =-f(x)，则函数f(x)称为奇函数。
(2)若函数定义域中任意x有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
(3)如果f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)对函数定义域中的任意x都为真，则函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为奇偶函数。
(4)如果对于函数定义域中的任意X，f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)都不能成立，则函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，称为奇偶函数。
说明:①奇、偶是函数的全局性质，且为全域。
②奇、偶函数的定义域必须关于原点对称。如果函数的定义域不是关于原点对称的，那么这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(解析:判断一个函数的奇偶性，首先要检查它的定义域是否关于原点对称，然后严格按照奇、偶的定义进行简化和整理，再与f(x)进行比较得出结论。)
③判断或证明函数是否有奇偶性的依据是定义。
2.奇偶函数图像的特征:
定理奇数函数的像是关于原点的中心对称图形，偶数函数的像是关于Y轴或轴对称图形。
F(x)是奇函数的像“= =”F(x)关于原点对称。
点(x，y)→(-x，-y)
奇函数在一定区间内单调递增，在其对称区间内单调递增。
偶函数在一定区间内单调递增，但在其对称区间内单调递减。
3.奇偶函数运算
(1).两个偶函数之和是一个偶函数。
(2)两个奇函数之和是奇函数。
(3)一个偶函数和一个奇函数的和是非奇函数和非偶函数。
(4)两个偶函数相乘得到的乘积是偶函数。
(5)两个奇函数相乘得到的乘积是一个偶函数。
(6)偶数函数乘以奇数函数的乘积是奇数函数。
定义域
(高中函数的定义)设A和B是两个非空数集。若集合A中的任意数X根据某种对应关系F有唯一数f(x)与之对应，则F: A-B称为集合A到集合B的函数，记为Y = F (X)，X属于集合A..其中，x称为自变量，x的取值范围a称为函数的定义域；
范围
名称定义
在一个函数中，因变量取值的范围称为函数的值域，它是数学中因变量在定义域中所有取值的集合。
评估域的常用方法
(1)归约法；(2)形象法(数形结合)，
(3)函数的单调性，
(4)匹配法，(5)代换法，(6)反函数法，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等。
对函数值域的误解
定义域、对应规则和值域是函数构造的三个基本“成分”。毫无疑问，平时数学中贯彻的是“定义域优先”原则。但是，任何事物都具有双重性，在强化定义域问题的同时，也往往被弱化或被谈论。值域问题的探索，造成了一手“硬”，一手“软”，使学生对函数的掌握时有时无。其实定义域和值域的位置是相当的，所以一定不能太细，更何况它们总是在相互转化中(典型的例子就是互为反函数的定义域和值域)如果一个函数的值域是无穷的，那么找到该函数的值域并不总是容易的。依靠不等式的运算性质有时是无效的，函数值必须结合函数的奇偶性、单调性、有界性和周期性来考虑。为了得到正确的答案，从这个角度来看，评价定义域的问题有时比求定义域的问题更难。实践证明，加强对求定义域方法的研究和探讨，有助于我们理解定义域内的函数，从而加深对函数本质的理解。
「范围」和「范围」一样吗？
“值域”和“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，很多同学经常混淆。其实是两个不同的概念。“range”是所有函数值的集合(即集合中的每个元素都是这个函数的值)，而“Range”只是某些值满足某个条件的集合(即集合中的所有元素不一定都满足这个条件)。也就是说，“范围”是“范围”，但“范围”不一定是“范围”。