数学月考，赶紧！！1 = 0+1 2+3+4 = 1+8 5+6+7+8+9 = 8+27 10+11+12+65448....

通式(n ^ 2+1)+(n ^ 2+2)+...+(n+1)2 = n ^ 3+(n+1)3。

证明:

1。当n=1时，2+3+4=1+8，等式成立。

2。让n = k & gt当=2时，等式成立，则(k 2+1)+(k 2+2)+...+(k+1) 2 = k 3+(k+1) 3。

即(k 2+1)+(k 2+2)+...+(k2+2k+1)= k3+(k+1)3。

对于n=k+1，有

[(k+1)^2+1]+[(k+1)^2+2]+...+(k+2)^2

=[(k+1)^2+1]+[(k+1)^2+2]+...+[(k+1)^2+2k+3]

=[(k^2+1)+(2k+1)]+[(k^2+2)+(2k+1)]+...+[(k^2+2k+1)+(2k+1)]+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]

=k^2+1)+(k^2+2)+...+(k^2+2k+1)+(2k+1)(2k+1)+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]

=k^3+(k+1)^3+(2k+1)(2k+1)+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]

=k^3+(k+1)^3+6k^2+12k+8

=(k+1)^3+(k+2)^3

等式对n=k+1也成立。

3。最后，这个等式适用于所有正整数n。