17物理竞赛决赛中的一道题

dv/dr=(dv/dt)/(dr/dt)

其中dr/dt = v。

所以dv/dr = (dv/dt)/v。

因为气体是理想气体，即PV=nRT=常数。

而气体表面积s = 4πr ^ 2，v = 4πr ^ 3/3。

即V=rS/3

所以dV=(r/3)dS。

所以PdV=(r/3)PdS，因为PdS=dF=(dv/dt)dm。

所以PdV=(r/3)(dv/dt)dm。

对左边的v和右边的m进行积分得到:

PV=(r/3)m(dv/dt)

即nRT=(r/3)m(dv/dt)。

即dv/dt=3nRT/(rm)，设每摩尔电子的质量为e，则m=nE。

上述公式简化为dv/dt=3RT/rE。

所以:dv/dr=(dv/dt)/v=3RT/vrE。

分离变量:vdv=(3RT/rE)dr

两侧积分:0.5v 2 = (3rt/e) lnr+c

即v=sqrt[(6RT/E)lnr+C]，其中sqrt()表示括号中数字的根。

而当r趋近于0时v趋近于0，所以C=0，即v=sqrt[(6RT/E)lnr]，

设sqrt(6RT/E)=I(常数)

则dv/dr=I/[sqrt(lnr)×2r]

完成解决方案