高中数学高考真题分类7

关键词:排列组合，解题策略

第一，相邻问题绑定法

例1.7学生站成一排。A和B要有多少种不同的排列才能站在一起？

解决方法:将两个元素排列在一起的问题，可以用“绑定”的方法来解决。第一，甲、乙与其他五人作为一个元素排列，考虑甲、乙的顺序，所以* * *有物种。

点评:一般来说，个体站成一排，其中一个相邻，可以用“捆绑”的方法解决，有不同的排列方式。

二、非相邻问题——空插入法

例2。七个学生站成一排。当A和B不相邻时，有多少种不同的排列？

解:A和B不相邻的排列一般采用“插入空间”的方法，所以A和B不相邻的排列总数应为:种。

点评:如果个体站成一排，个体不相邻的地方，可以通过“插入空间”来解决，有两种排列方式。

三。复杂问题-完全排除法

当直接法难以考虑，或分类不清或多重时，可考虑“排除法”。解决几何问题，必须注意几何图形对其构成元素的限制。

例3。(1996全国高考)一个正六边形的中心和顶点有七个点，以其中三个为顶点的三角形有多少个。

解:七点求三点有几种方法，但正六边形的对角线所包含的中心和顶点有三条* * *线，所以满足条件的三角形有-3 = 32个。

第四，特殊要素——优先法

对于条件有限的排列组合应用题，可以优先考虑特殊位置，然后再考虑其他位置。

例4。(1995上海高考题)1老师和4名获奖学生排成一排拍照留念。如果不是两端安排老师，还有不同的安排。

解决方法:首先考虑特殊要素(教师)的安排。因为老师不是两端安排的，你可以在中间三个位置选一个位置，其他同学的安排不一样，所以* * *有= 72种不同的安排。

例5。(2000年全国高考)乒乓球队10名队员中，主力3名，派出5名队员参赛。三个主力要安排在一、三、五号位，其他七个要安排在二、四号位，所以打法有不同的安排。

解决方法:因为一号、三号、五号位比较特殊，只能安排主力队员，有两种安排，而其他七个队员选择两个安排在二号、四号位，所以玩起来有= 252种不同的安排。

五、多元问题——分类讨论法

对于很多元素，很多选择，可以根据需求讨论，最后做一个总。

例6。(2003年北京春招)某班新年晚会原定的5个节目已经安排在节目单里，演出前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入到原节目列表中，那么不同插入方式的个数为(A)。

A.42 B.30 C.20 D.12

解决方法:新增的两个程序可以分为相邻和不相邻两种情况:1。不相邻:* *有A62种；2.相邻:* *有A2A61种。所以不同插值方法的个数是:A62 +A22A61=42，所以选A。

例7。(2003年全国高考)如图，一个地区分为五个行政区，现在地图是彩色的，这就要求相邻地区不能用同一种颜色。有四种颜色可供选择，那么有多少种不同的着色方法呢？(用数字回答)

解决方法:1区域与其他四个区域相邻，每隔一个区域与三个区域相邻，可以涂三四种颜色。用三种颜色着色有=24种方法，用四种颜色着色有=48种方法，所以* * * *有24+48=72种方法，应该填72。

六、混合问题——首选和后排法

对于有排列组合的混合应用问题，可以采用先选取元素再排列的策略。

例8。(2002年北京高考)12同学去三个不同的路口调查车流量。如果每个路口有4个学生，不同的分配方案将是()。

A.物种b。

C.物种d。

解:这个问题属于均匀分组问题。然后12同学全部分成3组* * *有办法，三个不同路口有不同的分配方案* * *有:种，所以选a。

例9。(2003年北京高考)从黄瓜、大白菜、油菜、扁豆四种蔬菜中选出三种，分别种植在三块不同土质的土地上，其中黄瓜是必须种植的，不同的种植方式是()。

A.24种B.18种C.12种D.6。

解决方法:先选后排，逐步实施。根据题意，不同的选择方式是C32，不同的排列方式是A31 A22，所以不同的种植方式是A31 C32 A22 = 12，所以应该选择C。

七。相同元素的分布-挡板分离法

示例10。将10本相同的书送到编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分配的书数不少于其编号。试着找出不同点的数量。请使用尽可能多的方法解决问题，并考虑这些方法是否适用于更一般的情况。

这个问题考察的是组合问题。

解法:让阅览室2和3依次得到1本书和2本书；分发剩下的七本书，保证每个阅览室至少有一本书，相当于在七本相同的书之间的六个“缝隙”中插入了两个相同的“我”(一般视为“隔断”)。* * *插入方式有15种。

总之，解决排列组合应用题的思路可以概括为:排列分组清晰，加法乘法清晰；有序排列，无序组合；分类就是加法，一步一步的乘法。

具体来说，通常有以下几种方法来解决排列组合的应用问题:

(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。

(2)以选址为主体，即先满足特殊选址的要求，再考虑其他选址。

(3)在不考虑附加条件的情况下，计算排列或组合的个数，然后减去不合格的排列和组合的个数。

解决排列组合问题的策略

张，湖北省安陆市第二中学

排列组合的知识在实践中有着广泛的应用，掌握排列组合的知识可以帮助我们解决很多生产生活中的实际应用问题。同时排列组合问题一直是个老大难问题。所以要全面掌握排列组合的知识，就要总结排列组合的解题规律和方法。

首先说说排列组合综合题的一般解题规律:

1)是用“分类计数原理”还是“分步计数原理”，取决于我们完成一件事情的方式。我们可以在分类完成的时候使用“分类计数原理”，在需要逐步完成的时候使用“步进计数原理”；那么，如何确定是分类还是循序渐进呢？“分类”是指其中任何一个都可以独立完成给定事件，而“循序渐进”则需要完成给定事件的所有步骤。所以，准确理解两个原理，强调的是完成一件事情的几种方法互不干涉，相互独立，相互交叉为一个空集，整合为一个完备集。无论哪种方法都可以独立完成事情，分步计数原理强调的是所有步骤缺一不可，为了完成这个事情需要完成所有步骤。

2)排列组合的定义相似，它们的区别在于是否与顺序有关。

3)复杂排列问题常通过实验的方式形象化，画出“树形图”和“方块图”，从而寻求求解的方法。因为结果的正确性很难检验，所以往往需要用不同的方法求解才能获得检验。

4)按要素性质分类，按事件的连续性循序渐进是处理排列组合问题的基本思维方法，要注意“至少，至多”等限制性词语的含义。

5)总体思路是先选取元素(组合)，再进行排列，按照元素的性质“分类”，按照事件的进程“循序渐进”，这始终是处理排列组合问题的基本原则和方法。通过解题训练，注意积累和掌握分类和循序渐进的基本功，保证每一步都是独立的，做到分类标准明确，循序渐进层次清晰，不重不漏。

6)在解决排列组合综合问题时，一定要深刻理解排列组合的概念，能够熟练地对问题进行分类，牢记排列组合数的公式和组合数的性质。容易出现的错误是重复和遗漏计数。

简而言之，解决排列组合问题的基本规律是:分类加法、分步乘法、排列分组清晰、加法乘法清晰；有序排列，无序组合；难就反，间接排除。

其次，在把握问题本质特征和规律的同时，灵活运用基本原理和公式进行分析和解决，同时注意一些解题策略和方法，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一、特殊要素(位)的“优先排列法”:对于特殊要素(位)的排列组合，一般先考虑特殊，再考虑其他。

示例1。用0、2、3、4、5五个数字组成一个三位数，不重复数字，其中偶数* * *有()。

A.24 B.30 C.40 D.60

【解析】因为三位数是偶数，所以末尾的数一定是偶数，又因为0不能排第一，所以0是“特殊”元素之一，应该优先考虑。可以分为两类:排在最后的0和排在最后的0:1)排在第0行最后的有A42，2)排在最后的没有排在最后的有C21A38。

2.总淘汰法:对于负面问题，不合格的可以从总中剔除。比如在1的情况下，也可以用这种方法来解决:五个数组成三位数的全排列中有一个A53。排列后发现0不能排第一，数字3和5不能排最后。这两种排列要排除，所以有A53-3A42+C21A31 = 30个偶数。

3.对有约束的排列组合问题进行合理的分类和准确的分步分类，按照要素的性质，按照事物的连续过程分步分类，做到分类标准明确，分步层次清晰，不重不漏。

4.相邻问题的绑定方法:在解决要求某些元素相邻的问题时，首先考虑整个问题，将相邻的元素“绑定”为一个“大”元素，与其他元素排列在一起，再考虑绑定方法。

例2，有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其他科目书3本。如果把这些书在书架上排成一排，数学书也排在一起，那么外文书排在一起的排列方法有()种。(结果以数值表示)

解决方法:将三本数学书“捆绑”在一起作为一本大书，将两本外语书“捆绑”在一起作为一本大书。和其他三部书一起被视为五行。* * *有A55的排列；其他三本数学书是A33排列，两本外语书是A22排列。根据分步计数原理，* * *有一种排法A55 A33 A22=1440(种)。

注意:用绑定法解决排列组合问题时，一定要注意“绑定”大元素的内部顺序。

5.“插值法”用于不相邻问题:不相邻问题是指某些元素不能相邻，被其他元素隔开。要解决这个问题，可以先排列其他元素，然后将指定的不相邻元素插入其两端的空隙和位置，所以称之为插值法。

例3:用1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数。要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，7不与8相邻。有()这样的八位数* *。(用数字回答)

解法:由于要求1与2相邻，2与4相邻，所以1，2，4这三个数可以绑定在一起组成一个大元素，在这个大元素中间只能排列2，两边可以排列1，4，所以大元素中有A22种排列方法，然后5和6可以绑定成一个大元素。先安排好这三个要素。* * *有33种排列方式，然后从前面排列的三个元素和* * *两端的四个位置形成的空隙中选择两个，插入互不相邻的数字7和8。* * *有A42个插入方法，所以合格的八位* *有A22A3A342 = 288(种)。

注意:用插值法解决非相邻问题时，要注意要插入的位置是否包括两端。

6.用“除法”来固定顺序:对于某些元素按一定顺序排列的问题，可以先把这些元素和其他元素排列在一起，然后用总排列数除以这些元素的总排列数。

例4:六个人排队，A、B、C按照“A-B-C”的顺序排队。排队方式有几种？

解析:不考虑附加条件有A66种排队方式，A、B、C的A33种排队方式只有一种符合要求。所以有A66 ÷A33 =120个符合条件的排列方法。(或A63)

例5。四个男孩和三个女孩身高不相等。现在，把它们排成一行，从左到右请女生从矮到高排列。有多少种排列？

解决方法:第一，七个位置中有四个给了男生，有A74的排列，剩下三个位置给了女生，只有一个排列，所以有A74的排列。(也可以是A77 ÷A33)

7.排列的问题用“直排”来解决:把几个元素排成几排的问题，可以用排成一排来解决。

例6。七个人分两排坐，第一排三个，第二排四个。有多少种不同的坐姿？

解析:七个人可以随意坐在前两排，没有其他条件，所以两排可以当作一排，有77种不同的坐法。

八个。逐条测试法:当题中附加条件增多，直接解决难点时，通过实验逐步寻找规律。

例7。用数字1，2，3，4填充方块中的数字1，2，3，4，在每个方块中填充1。正方形中不同数字的填充方法的个数是()。

A.6 B.9 C.11 D.23

解决方法:第一个盒子可以装2个或3个或4个。如果第一个盒子填2，第二个盒子可以填1或者3或者4。如果第二个盒子填的是1，那么最后两个盒子只有一个方法。如果第二个盒子填的是3或者4，那么最后两个盒子只有一种填法。A * * *有九种填法，选b。

九、结构模型“分区法”

对于复杂的安排问题，我们可以设计另一个场景，构建一个划分模型来解决问题。

例8。方程a+b+c+d=12有几组正整数解？

解析:建立挡板模型:将12个相同的球排成一排，在它们之间的空隙中随机插入3个挡板，将球分成4堆。每次除法得到的每堆球的个数对应A，B，C，D的一组正整数解，所以原方程的正整数解的组数。

再比如方程a+b+c+d=12的非负整数解的个数，可以用这个方法求解。

10.如果有困难，就采用反向排除法

对于“最多”或“最少”的排列组合问题，如果直接回答需要复杂的讨论，可以考虑“整体去杂”的方法，即删除群体中不合格的排列组合，从而计算出合格的排列组合数。

例9。从4台A型和5台B型电视机中随机选择3台电视机，其中至少有1台A型电视机和1台B型电视机，这样就有()种不同的选择* *方式。

A.140种B.80种C.70种D.35

解决方法:在被拿出来的三个站中，没有一个不含A或者不符合题意的提取方法，所以符合题意的提取方法是C93-C43-C53=70(种)，所以C .

注意:此法适用于否定情况明确，计算简单的习题。

XI。逐步探索法:情况复杂、难以发现其规律的问题，需要认真分析和探索。

例10，从1到100，如果一次取出两个不同的数，使其和大于100，取多少个不同的数？

解法:在两个数的加法中，较小的数为加数，1+100 >；当100和1为加数时，有1，2为加数，…，49为加数，50为加数，但51为加数，48为加数，…，99。

十二。一一对应法:

例如:11。在100名选手中进行单循环淘汰赛(即失败后退出比赛)需要多少场比赛才能最终产生冠军？

解决方法:要产生一个冠军，必须淘汰除冠军以外的所有选手，即必须淘汰99名选手，必须淘汰1名选手，所以有99场比赛。

需要指出的是，上述方法是解决一般排列组合问题的常用方法，但不是绝对的。数学是一门非常灵活的课程，同一个问题有时会有多种解法。这时候就要仔细思考分析，灵活选择最佳方法。还有多元问题的“分类”、“排线”、“等概率法”之类的，这里就不细说了。