2013 ap微积分真题

1.根据问题的意思，去除污染物的速率与残留污染物的浓度成正比。设污染物浓度随时间t(分钟)变化的函数为s = s(t)，则去除率为v = v(t) = ks(t)，k为常数。

，初始浓度设为1单位，那么在时间t，被去除的污染物为v(u)du，积分从0到t，也是1-s(t)。所以两者是相等的。这个公式两边的t的导数是

v(t)=-s'(t).

而v(t) = ks(t)，所以

s(t) + (1/k)s'(t) = 0

解决

s(t) = C exp(-kt)

根据初始条件，s(0) = 1，所以C = 1，第一分钟结束时，剩余污染物为1-20% = 0.8，所以

S(1) = 0.8 = exp(-k)，所以k = -ln(0.8)。

因为我们最终只能剩下2%的污染物，所以

0.02 = exp(-kt)

也就是

t = ln 0.02/(-k)= ln 0.02/ln 0.8 = 17.53分钟.

2.设AC = b(t)，那么根据勾股定理，BC = sqrt(25-b(t) * b(t))。从问题的意思，我们知道b'(t) = -2英尺每秒。

设三角形的面积为s(t)= 1/2 * b(t)sqrt(25-b(t)* b(t))。导出时间t，

s '(t)= 1/2 b '(t)(sqrt(25-b(t)^2)-b^2/(sqrt(25-b(t)^2))).

当b(t) = 3时，S'(t) =-(4-9/4) =-7/4。