四川大学高中数学试卷真题
两个。1。X→∞lim xsin(1/X)= X→∞lim[sin(1/X)/(1/X)= X→∞lim(1/X)/(1/X)无
垂直渐近线；
2。面积=πa？；
3。
4。to =π/2；x ' = 1-成本；y’= Sint；z ' = 2cos(t/2)；所以x ' o = 1；y ' o = 1；z ' o =√2；XO =π/2-1；yo = 1；zo = 2√2；所以切线方程是:(x-π/2+1)/1 =(y-1)/1 =(z-2√2)/√2；
正规方程是:(x-π/2+`)+(y-1)+(√2)(z-2√2)= 0。
5。交易所积分顺序是0，1 ∫ dxx？，x∫f(x，y)dy
6。AB=(1，-6，3)，所以平面方程是(x-2)-6(y+1)+3(z-2)=0，即x-6y+3z-14=0就是需求。
7。一个特殊解是y * = (1/2) (e x) cos2x。
三个。计算:
1。x→∞lim[ln(1-1/x)/(arctanx-π/2)]= x→∞lim[1/x(x-1)]/[1/(1+x？)]=x→∞lim[(1+x？)/(x？-x)]
=x→∞lim[[(1/x？+1)/(1-1/x)]= 1
2。x→0，y→0lim{(x？+y？)/[√(x？+y？+1)-1]}=x→0，y→0lim{(x？+y？)[√(x？+y？+1)+1]/(x？+y？)}
=x→0，y→0lim[√(x？+y？+1)+1]=2;
3。0,ln2∫√(e^x-1)dx；设e x-1 = u？，那么(e x) dx = 2udu，dx=2udu/(1+u？);
x=0时u = 0；当x=ln2时U=1。
因此，0，LN2 ∫√ (E X-1) dx = 0，12∫u？杜/(1+u？)=0，12∫[1-1/(1+u？)]杜
=2[u-arctanu]0，1=2(1-π/4)2-π/2。
4。-∞，+∞∫[1/(9+x？)]dx=(1/3)arctan(x/3)-∞，+∞=(1/3)(π/2+π/2)=π/3
5，z=f(x？-是吗？,e^(xy))；设u=x？-是吗？；v=e^(xy)；
然后呢？z/？x=(？f/？u)(？u/？x)+(？f/？v)(？v/？x)=2x(？f/？u)+ye^(xy)(？f/？五)
z/？y=(？f/？u)(？u/？y)+(？f/？v)(？v/？y)=-2y(？f/？u)+xe^(xy)(？f/？五)
6。x=te^t；y=t？E t，所以dy/dx = y ' =(dy/dt)/(dx/dt)=(2te t+t？e^t)/(e^t+te^t)=(2t+t？)/(1+t)
所以d？y/dx？=(dy '/dt)/(dx/dt)= {[(1+t)(2+2t)-(2t+t？)]/(1+t)？}/(e^t+te^t)=(t？+2t+2)/[(1+t)？e^t]
四个。求抛物线y=-x？由+4x-3的切线及其点(0，-3)和(3，0)包围的图形区域。
解:y ' =-2x+4；y '(0)= 4；y'(3)=-2
所以过M(0，-3)的切线方程是y = 4x-3；过n (3，0)的切线方程为y =-2(x-3)=-2x+6；
设4x-3=-2x+6得到6x=9，所以x = 9/6 = 3/2；Y=-3+6=3，即两条切线的交点Q的坐标为(3/2，3)；
设切线MQ与X轴的交点为P，则点P的坐标为(3/4，0)；
所围图形的面积s =△pnq s的面积？-抛物线和x轴围成的面积s？+抛物线和切线MQ并被X轴包围
s区？。
s？=(1/2)×(3-3/4)×3=27/8
s？=1，3∫(-x？+4x-3)dx=[-x？/3+2x？-3x]1，3 =(-9+18-9)-(-1/3+2-3)= 4/3
s？=0,1∣∫(-x？+4x-3)dx∣-(1/2)×(3/4)×3=∣-x？/3+2x？-3x∣0,1-9/8=4/3-9/8=5/24
所以面积s = 27/8-4/3+5/24 =(81-32+5)/24 = 54/24 = 9/4。
五个。求函数f(x)=1/x在点xo=2的泰勒展开式，求其收敛域。
解:f(2)= 1/2；f'(x)=-1/x？，f'(2)=-1！/2?；f''(x)=2！/x？，f(2)=2！/2?；
f ' ' ' '(x)=-3！/x？，f ' ' ' '(2)=-3！/2?；.......；f？(x)=(-1)？n！/x？，f？(2)=(-1)?n！/2?；
所以展开就是1/x=1/2-(1/2？)(x-2)+(1/2？)(x-2)？-(1/2?)(x-2)？+......+[(-1)?/2?](x-2)？+........
n→∞lim∣R？n？(x)∣=n→∞lim∣(x-2)∣？/2?& ltn→∞lim[∣x-2∣/2]？
由∣ x-2 ∣/2 < 1，得到-2
六个。计算c ∮ [(e x) cosy+2y] dx-[(e x) siny] dy，其中c为负园周长x？+y？=a？。
解:∮[(e x)cosy+2y]dx-[(e x)siny]dy = d-∫∫[(-e x)siny+(e x)siny-2]dxdy。
=D4∫∫dxdy=-a，a4∫dy-√(a？-是吗？)、√(a？-是吗？)∫dx
=-a，a8∫√(a？-是吗？)dy=[(y/2)√(a？-是吗？)+(a？/2)arcsin(y/a)]-a，a
=(a？/2)arcsin1-(a？/2)反正弦(-1)=πa？/2
七个。计算:
1。D∫∫arctan(y/x)dxdy，其中d: 1 ≦ x？+y？≦4，x≧0，y≧0。
解:在极坐标中:1≦r？≦4，所以1≦r≦2；0≦θ≦π/2
D∫反正切(y/x)dxdy=0，π/2∫dθ1，2∫反正切(sinθ/cosθ)rdr
=0，π/2∫dθ1，2∫arctan(tanθ)rdr=0，π/2∫dθ1，2∫rdr
=0，π/2∫θdθ(r？/2)1，2=0，π/2(3/2)∫θdθ=(3/2)(θ？/2)0,π/2
=(3/2)(π?/8)=3π?/16
2。求球面x？+y？+z？=a？被平面z=a/2和z=a/4夹在中间的那部分曲面的面积。
解:被夹紧面的面积=2πa(a/2-a/4)=πa？/2
八个。这是为了证明篷布面积S=πR？+2πRH+2πR√(R？+h？)=πR[R+H+2√(R？+h？)]帐篷体积V=πR时满足？H+(1/3)πR？h=(H+h/3)πR？在=k的条件下求最小值时，必须满足条件R=(√5)H和h=2H。
证明:S=πR[R+H+2√(R？+h？)];附加条件φ(R，H，h)=(H+h/3)πR？-k=0
使函数F(R，h，h)=πR？+2πRH+2πR√(R？+h？)+λ[(H+h/3)πR？-k]
F/？R=2πR+2πH+2π√(R？+h？)+2πR？/√(R？+h？)+2πRλ[(H+h/3)=0
也就是R+H+√(R？+h？)+R？/√(R？+h？)+Rλ(H+h/3)=0.............(1)
F/？H=2πR+πR？λ=0，即有2+Rλ=0，所以λ=-2/R............(2).
F/？h=h/√(R？+h？)+Rh/√(R？+h？)+(1/3)Rλ=0
即3h+3Rh+Rλ√(R？+h？)=0...............(3)
(H+h/3)πR？-k=0.................(4)
通过联立求解四个方程可以得到证明。我的电脑有问题。效果不好。可以自己解决。