31国际物理奥林匹克试题理论试题

英格兰？莱斯特。2000年7月65438日00时05分

问题1

答？一个蹦迪的人被绑在一根弹性长绳子的一端，绳子的另一端固定在一个高桥上。他从一个静止的高桥掉到下面的河里，最后接触到水面。他的质量是m，绳子的自然长度是L，绳子的力常数(拉长绳子所需的力lm)是K，重力场强度是g，求下面几个量的表达式。

(a)运动员在第一次达到瞬间静止之前下落的距离y。

(b)他在坠落过程中达到的最大速度。

(c)在他第一次达到瞬间静止之前，在他下落期间所经过的时间t。

假设运动员可以看成是绑在绳子一端的质点，绳子的质量相对于m可以忽略不计，绳子拉伸时服从虎克定律，整个下落过程中空气阻力可以忽略不计。

b？热机在两个相同材料的物体之间工作。两个物体的温度是TA和TB (Ta > TB)，每个物体的质量是M，比热不变，都是s，假设两个物体的压强保持不变，没有相变。

(A)假设热能可以从系统中获得理论上允许的最大机械能，求出A和B两个物体的最终温度t？给出了解决问题的全过程。

(b)由此得出最大允许功的表达式。

(c)假设热机在两箱水之间工作，每箱水的体积为2.50m3，一箱水的温度为350K，另一箱水的温度为300K。计算最大可用机械能。

已知水的比热容= 4.19×103kg-1k-1，水的密度=1.00？x？103kgm。-3

假设地球形成时同位素238U和235U存在，但它们的衰变产物不存在。238U和235U的衰变用来确定地球的年龄t。

(a)同位素238U衰变的半衰期为4.50×109年，其他放射性衰变产物的半衰期比这个短得多。作为一级近似，这些衰变产物的存在可以忽略，衰变过程在铅同位素206 pH处结束，238U的半衰期和238U的238N数现在代表放射性衰变产生的206nPb原子数。(运算中以109为单位为宜)

(b)同样，在经过一系列短半衰期产物后，235U以0.710×109年的半衰期衰变，终止于稳定同位素207Pb。写出207n与235N和235U的半衰期之间的关系。

(c)一种铅铀混合矿石，经质谱仪分析，该矿石中铅同位素204Pb、206Pb和207Pb的相对浓度比为1.00: 29.6: 22.6。由于宇称204？铅没有放射性，可以作为分析的参考。对某纯铝矿进行分析，这三种同位素的相对浓度比为1.00:17.9:15.5。已知238N:235N的比值为137: 1。试着推导出包含t的关系..

(d)假设地球的年龄t远大于两种钢的半衰期，可以得到t的近似值。

(e)显然，上述近似值并不明显大于同位素的较长半衰期，但使用这种近似值可以获得更准确的T值。那么在准确性方面呢？估计地球年龄t在2%以内。

d真空中的电荷q均匀分布在半径为r的球体中。

(a)对于两种情况:r≤R和r > r，导出了距球心R处的电场强度..

(b)推导出与该电荷分布相关的总电能的表达式。

e .由细铜线制成的圆环在地磁场中绕其垂直直径旋转。铜劣势地磁场的磁感应强度为44.5μT，其方向为水平向下60度。已知铜的密度为8.90× 103 KGM-3，电阻率为1.70×10-8ω·m，计算了其角速度从初始值下降到一半所需的时间。把计算步骤写出来，比转一次花的时间长得多。没有空气和轴承处的摩擦被忽略，自感效应被忽略(虽然这些效应本不应该被忽略)。

问题2

(A)阴极射线管由电子枪和荧光屏组成，置于磁感应强度为B的均匀恒定磁场中，如图1所示。磁场的方向平行于电子枪的电子束的轴，并且电子束从副枪的阳极沿着轴发射，但是与轴具有至多5度的发散角，如图2所示。通常情况下，电子束在荧光屏上会呈现出弥散斑，但对于一定的磁场可以得到聚焦良好的光斑。考虑一个电子以角度β (0 < β)离开电子枪

将电子束聚焦到一点的最小磁感应强度；电子枪加速电势差V(注意V < 2kV)，以及从阳极到屏幕的距离D。

(b)考虑另一种测量电子荷质比的方法。图3(a)和3 (b)是实验装置的侧视图和顶视图，并且还画出了磁场B的方向。在这个均匀磁场中，放置两个相距很小距离t的铜圆盘，圆盘的半径为ρ。两个圆盘之间保持电势差V，两个圆盘平行共轴，轴垂直于磁场。一张照相底片同轴覆盖在半径为ρ+s的圆柱体内侧，换句话说，底片与光盘边缘的径向距离为s，整个装置置于真空中。注意t比s和ρ小很多。

一个点状β粒子源放在两个圆盘的中心之间，向各个方向均匀发射？粒子，粒子速度分布在一定范围内，相同的负曝光在以下不同的实验条件下进行:

案例1B=0，V=0，

情况2b = B，V=V .,

案例3b =-b，V=-V .；

这里V0和B0是正常数。注意当V > 0时上层圆盘带正电(当V < 0时上层圆盘带负电)。当b > 0时，磁场方向定义为图3所示的方向(当b < 0时，磁场方向相反)。解决这个小问题时，两个圆盘之间的间隔可以忽略。

在图3(b)中，底片的两个区域分别用A和B标记。底片曝光显影后，两个区域之一的底片展开后显示的β粒子曝光线如图4所示。这张底片是从哪个区域(A或B)拍摄的？通过指出作用在电子上的力的方向来证明你的答案。

(c)曝光和显影后，底片的显影图如图4所示。用显微镜测量两个最外面的轨迹之间的距离。[某一角度的间距(y)已在图4中标出]。该测量结果从下表中获得，角度φ定义为磁场方向与底片上的一点和圆盘中心之间的角度，如图3(b)所示。

与磁场的角度/度φ 90 60 50 40 30 23

区间Y 17.4 12.7 9.7 6.4 3.3轨迹终点

测量系统参数值如下:

B0=6.91mTV0=580Vt=？0.80mm？s = 41.0毫米

另外，真空中的光速可以取为？3.00×108ms-1，电子的静止质量为9.11×10-31kg。计算观察到的β粒子的最大动能(eV)。

(d)使用上述(c)部分中给出的信息，计算电子电荷与静止质量的比率。这应该通过在给定的坐标纸上画一个合适的图表来获得。

写出横轴和纵轴表示的量的代数表达式，写出电子荷质比的大小。

请注意，由于观察的系统误差，您的答案可能与公认的标准值不同。

31国际物理奥林匹克竞赛试题。

理论试题(续)

英格兰？莱斯特。2000年7月65438日00时05分

引力波和重力对光的影响

第一部分

这部分涉及到探测天文事件产生的引力波的难度。已知一次遥远的超新星爆发可能会扰动地球表面的引力场强度约10-19Nkg-1。引力波探测器的模型(见图5)由两根金属棒组成，每根金属棒长1米，两根金属棒相互成直角。每根棒的一端被抛光成光学平面，另一端被刚性固定。调整其中一个杆的位置，使从光电池接收的信号最小化(见图5)。

利用压电器件在杆中产生极短的纵向脉冲，杆的自由振动产生纵向位移δXT的振动；

δXT = AE-μtcos(ωt+？)

其中a，μ，ω和？是一个常数。

(a)如果位移幅度在50秒的时间间隔内减少了20%,找到μ的值。

(b)假设两根杆均由铝制成，密度(ρ)为2700kgm-3，杨氏模量(e)为7.1×1010？私人助理.P波的速度称为v=？试着找出ω的最小值。

(c)一般不可能使这两根棒的长度完全相同，所以光电管信号的拍频出现在0.005Hz，两根棒的长度相差多少？

(d)对于长度为L的杆，导出由引力场强度G的变化引起的长度变化曲面L的代数表达式，用L和杆材料的其他常数表示。假设探测器对重力场强度变化的响应只发生在棒的轴向。

(e)激光产生波长为656纳米的单色光。如果可以测量的最小条纹移动是在激光波长上呢？10-4，这样这个系统就可以测出G的变化量为10-19Nkg-1，杆的最小L值是多少？

乙部

这部分研究引力场对光在空间传播的影响。

(A)从太阳表面发射的光子(质量m，半径r)将发生红移。假设光子的质量相当于光子的能量，用牛顿引力理论证明光子在无穷远处的有效(或实测)频率降低了(1-GM/RC2)倍。

(b)光子频率的降低相当于时间周期的增加。当光子作为标准时钟时，就相当于时间的膨胀。另外，时间的膨胀总是伴随着同一因素的长度收缩。

现在我们正试图研究这种效应对围绕太阳传播的光线的影响。首先定义了距太阳中心R的等效折射率NR:NR = C/C ' R。

其中c是远离太阳引力影响的光速(r→∞)，c'r是从太阳中心测量的光速。

当GM/RC2很小时，证明nr可以近似表示为

nr=1+？GM/rc2

其中？是常数，请确定常数。

(c)使用上述nr表达式，计算光线通过太阳边缘时偏离直线路径的角度(弧度)。

数据

引力常数？g = 6.67×10-11 nm2 kg-2

太阳质量？M=1.99？x？1030公斤

太阳半径？R=6.95？×108米

光速c =？3.00?×108ms-1

您可能需要以下几点: