寻找椭圆的问题

典型例子

椭圆的定义

示例1

过椭圆4x2+Y2 = 1的一个焦点F1的直线与椭圆在A点和B点相交，则A、B与椭圆的另一个焦点F2形成的△ABF2的周长为

[ ]

简要说明:

∵|AF1|+|AF2|=2，

|BF1|+|BF2|=2，

∴|af1|+|bf1|+|af2|+|bf2|=4，

即| AB |+| AF2 |+| BF2 | = 4。

∴选择b

评论:

这个问题是求周长，其实是用椭圆定义的。

示例2

点M是椭圆上的一点，椭圆的两个焦点是F1，F2。且2a=10，2c=6，I点为△MF1F2。

解决方案:

如图，I是△MF1F2的心脏，

∴∠1=∠2,

比较①和②，应用等比定理，我们可以得到

评论:

这道题的三个步骤都用到椭圆的定义，内平分线定理，等比定理。等比定理是连接内平分线的线段比与椭圆第一定义的桥梁。

示例3

已知椭圆的两个焦点是F1，F2，点M是椭圆上的一点(不在直线F1F2上)，∠ F1F2 = θ，|F1F2|=2c，| MF 1 | | MF2 | =

解决方案:

从余弦定理得出结论

(2c)2=|F1F2|2

= | MF 1 | 2+| MF2 | 2-2 | MF 1 | | MF2 | cos∠f 1mf 2

=(| MF 1 |+| MF2 |)2-2 | MF 1 | | MF2 |(1+cosθ)

=(2a)2-2 | MF 1 | | MF2 |(1+cosθ)

评论:

实例4

已知方程2 (K2-2) x2+K2Y2+K2-k-6 = 0表示椭圆，求实数k的取值范围。

解决方案:

根据问题的意思，get

评论:

解决这类问题要注意椭圆的两种类型以及椭圆和圆的区别。

实例5

解决方案:

设椭圆方程为ax2+by2 = k，

①

评论:

我们不知道这个问题中椭圆的类型，所以采用这个“模糊”的方法来简化计算。

实例6

分析:

解决方案:

设|PF1|=m，|PF2|=n，m+n = 20，

也就是m2+N2-Mn = 144。

(1)

∴(m+n)2-3mn=144.

评论:

上述方法利用了椭圆的定义和余弦定理，常用于解决椭圆中的三角形问题

求| pf1 || pf2 |的最大值。

解决方案:

∫a = 10，

∴|PF1|+|PF2|=20.

" = "成立当且仅当|PF1|=|PF2|。

∴| PF1 || PF2 |最大值为100。

例7

证明

(1)∵P0在椭圆外，

(2)P0在椭圆内，

评论:

1.本题涉及的知识点是椭圆方程和坐标概念。

2.这是一个常见的知识点，只要理解坐标和曲线方程的概念就不难证明。

实施例8

，求| am |+2 | MF |的最小值，求此时点m的坐标。

分析:

按照常规思维，设M(x，y)，那么

m在椭圆上，y可以用X表示，这样| am |+2 | MF |就可以表示为X的一元函数，然后就可以求出这个函数的最小值。虽然这种方法看起来可行，但实际操作起来非常困难，但我们可以将椭圆的第二种定义转化为点到直线的距离，如图。

∴|AM|+2|MF|=|AM|+d

由于a点在椭圆内，若a为AK⊥l，k为垂足，则很容易证明|AK|是| AM |+D的最小值，其值为8-(-2) = 10。

示例9

[ ]

A.椭圆

B.双曲线

C.线段

D.抛物线

简要说明:

即点P(x，y)到固定点F(1，1)的距离与固定线L的距离之比:x+y+2 = 0。

点p的轨迹是椭圆，所以选a。

评论:

这个问题很精彩:妙处在于使用了椭圆的第二定义，不能直接使用，变形后才知道答案。用双面正方形解法会很麻烦。

示例10

出发去

[ ]

A.8

简要说明:

画

|PF1|+|PF2|=2a=10，

∴|PF1|=2.

∴|pf2|=10-|pf1|=10-2=8.

选择a。

评论:

这个问题是椭圆的第一个定义和第二个定义的综合应用。

示例11

如图，椭圆的圆心为o，f为焦点，a为顶点，准线l在b处与OA延长线相交，p和q在椭圆上，PD⊥l在d处，QF⊥OA在f处，则椭圆的偏心率为

[ ]

答:0

B.2

C.2

D.5

回答:

D.

评论:

本题灵活运用偏心距，加深对椭圆第二种定义的理解。

示例12

那么| pf1 | = a+ex0，| pf2 | = a-ex0。

证明:

由第二个椭圆定义，我们必须

评论:

在一些书中，上述结论被称为焦半径公式。按照人教版教材的要求去做是不科学的，容易陷入简单的记忆公式，忽略了对椭圆第二种定义的理解和应用。因为叙述方便，后面还是用焦半径公式，但是要注意理解。

实际上，上述结论是椭圆的第二种定义的延伸。掌握椭圆的第二种定义和一点与一条直线的位置关系，容易推导和记忆。使用时，可以加上前缀“根据椭圆的第二种定义”来应用。

|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，

示例13

分析:

解方程就行了。

这种方法很自然，但是需要大量的计算，所以需要从另一个角度寻找新的解决方案。

解决方案:

由第二个椭圆定义，我们必须

评论:

充分理解椭圆的第二种定义，就能记住相关结论。

椭圆的几何性质

示例1

已知椭圆的圆心在坐标原点，焦点在同一坐标轴上，偏心率e=0.6，椭圆过a点(5，4)。求椭圆方程。

解决方案:

评论:

注意两类椭圆方程。

示例2

给定椭圆方程(1-m) x2-My2 = 1，求长轴长度。

解决方案:

椭圆方程是第二种类型。

评论:

方程式的类型至关重要。

示例3

[ ]

A.椭圆面积减小，焦点和相应准线之间的距离增加。

b、椭圆面积减小，焦点与对应准线的距离减小。

焦点和相应准线之间的距离随着椭圆面积的增加而增加。

d，焦点与对应准线的距离随着椭圆面积的增大而减小。

选b。

评论:

椭圆的形状是平而圆的。怎么才能描述它的平坦呢？

当E更接近1(即增加)时，C更接近A，因此B更小，因此椭圆更平坦。

若a不变，椭圆面积越小S =πab；焦点和相应准线之间的距离越小，焦点向外移动。

E越接近零(即递减)，C越接近零，因而B越大，椭圆接近圆。

若a不变，椭圆面积越大S =πab；焦点和相应准线之间的距离越大，焦点向内移动。

注:以上E数的变化反映了椭圆的平坦度。如果两个焦点与原点重合，即a=b，那么当c=0时，图形的质变就不再是椭圆，变成了圆X2+Y2 = A2。

实例4

M点到两个焦点F1和F2的距离是等比平均值吗？并说明原因。

解决方案:

假设椭圆上有一点满足问题意义P(x0，y0)。

L: x =-4，| Mn | = | x0+4 | = x0+4。

如果|MN|是|MF1|和|MF2|的等比中值，

由第二个椭圆定义，我们必须

因为点M(x0，y0)在椭圆上，所以应该是-2 ≤ x0 ≤ 2，显然横坐标是x0 =-4。

评论:

解决这个问题的实质是归谬法。

实例5

地球围绕太阳的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上。轨道近日点至太阳的距离为144万公里，轨道远日点至太阳的距离为149万公里。求这个轨道的偏心率和轨道方程。

解决方案:

以百万公里为单位长度，建立如图所示的坐标系。

∴a-c=144,a+c=149，

∴a=146.5，c=2.5。

评论:

设P(x0，y0)是椭圆上的任意一点，则| pf2 | = a-ex0，-a ≤ x0 ≤-a .

∴(|PF2|)max=a-e (-a)=a+c，(|PF2|)min=a-e a=a-c

极大值问题

示例1

求以长轴为底的椭圆的最大面积。

解决方案:

让椭圆方程成为

评论:

1.本题涉及的知识点有:椭圆的方程(参数方程)、梯形的面积公式、三角函数最大值的处理方法。

2.最大值问题的求解一般是选取设计变量(合适的自变量)，建立目标函数(就是数学模型)，然后应用泛函知识和不等式，求目标函数的最大值。在这里，如何建立数学模型是关键，熟练的数学语言是建立模型的基本工具。函数知识和不等式是求最大值的基础。

示例2

解决方案:

把b传给n的BN⊥l，把a传给m的AM⊥l

从椭圆的性质，我们知道

评论:

根据图的平坦度，可以确定B点使u最小.

示例3

椭圆，求m点在哪里，椭圆最长的轴最短，求这个椭圆的方程。

分析:

椭圆长轴的长度是从椭圆上的点到两个焦点的距离之和。这样，通过直线L上的点m求长轴最短的椭圆就转化为求直线L上的点，从而使该点到两个焦点F1和F2的距离之和最小。

解决方案1:

a2=16，b2=12，

∴c2=a2-b2=4.

解决方案2:

圆应该与直线l相切，m是切点，

消去y得到(a2+B2)x2-8a2x+16 a2-a2 B2 = 0。

∴△=64a4-4(a2+b2)(16a2-a2b2)=0.

简化的A2+B2 = 16。

(1)

∴a2-b2=4.

(2)

由① ②联立方程组，a2=10，B2 = 6。

评论:

在以F1和F2为焦点并通过直线L上一点的椭圆中，与直线L相切的椭圆的最长轴最短，因为直线L上除切点外所有点都在椭圆外，椭圆外一点到两个焦点的距离之和大于2a。这个结论可以用平面几何知识来证明，同样可以证明椭圆上一点到两个焦点的距离之和小于2a。

焦点半径问题

示例1

解决方案:

exi)(i=1、2、3)。

∴三点的横坐标成等差数列，这是该点的焦半径成等差数列的充要条件。

评论:

1.本题涉及的知识点是椭圆的焦半径、等差数列和充要条件。

2.只有掌握了椭圆的焦半径，才能顺利通过这类基本问题，可见在掌握标准方程的同时掌握相关元素的重要性。

示例2

距离成等差数列。

(1)找到x 1+x2；

(2)证明AC的中垂线通过某一点，求这个不动点的坐标。

解决方案:

(1)从椭圆方程的半长轴a=5，半短轴b=3，半焦距c=4，根据圆锥曲线的统一定义，我们得到

∵|AF|+|CF|=2|BF|，

因此，x1+x2 = 8。

评论:

1.本题涉及的知识点有:椭圆方程、圆锥曲线的统一定义、中点公式、点斜、等差数列、线性系统方程。

2.根据圆锥曲线的统一定义，利用|AF|、|BF|和|CF|构成包含x1和x2的等差数列方程，推导椭圆的焦半径公式，是不可缺少的数学语言。是证明AC中线过某点的关键。因为A和C是椭圆上的动点，AC的中线是一个直线系，所以可以求解这个直线系的方程。

直线和椭圆

示例1

(1)有两个共同点；

(2)只有一个共同点；

(3)没有* * *共同点。

解决方案:

∴△=(12k)2-4×9×(6k2-8)=-72(k2-4).

(1) △ > 0表示-2 < k < 2时，直线和椭圆有两个公共点。

(2)当△ = 0，即k =-2或k=2时，直线和椭圆只有一个公共点。

(3)当△ < 0时，即k > 2或k

评论:

判断直线与椭圆位置关系一般步长收敛的“△”法:

(1)联立方程。

(2)消元化为二次方程。

③计算△ = B2-4ac。

(I)当△ > 0时，称直线和椭圆的两个公共点相交。

(ii)当△=0时，直线和椭圆有且仅有一个公共点。这时，直线和椭圆称为相切。

(iii)当△ < 0时，直线与椭圆之间没有公共点。这时候直线和椭圆就说分开了。

注意:

区分直线和圆的位置关系有两种方法:△法和“D-R”法，其中“D-R”法是最简单常用的方法，区分直线和椭圆的位置关系只有一种方法，即△法。

示例2

直线上的对称性y = 4x+m .

解决方案1:

∴△=(-8b)2-4×13×(16b2-48)>0.

(1)

设PQ的中点为M(x，y)，则

(2)

将②代入①得到

解决方案2:

设P(x1，y2)，Q(x2，y2)为椭圆C上的两个合格点，M(x，y)为PQ的中点。

两个表达式相减，3(x 1-x2)(x 1+x2)+4(y 1-y2)(y 1+y2)= 0。

∵x1≠x2，x1+x2=2x，y1+y2=2y，

∴M(-m,-3m).

点m应该在椭圆c内，所以

评论:

要解决这样的问题，就要深刻理解对称的含义。

示例3

AB的长度。

解决方案:

椭圆的右焦点f (1，0)，

设直线L: y = x-1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴ y1-y2 = x1-x2，

评论:

(1)如果对这个问题进一步计算△F1AB的面积，如图，F1 (-1，0)。

∴点F1 (-1，0)到直线L: Y = X-1的距离为

求△F1AB的面积通常有两种方法:

(1)S△f 1AB = S△f 1F2A+S△f 1F2B，

(2)本题直线L为椭圆的右焦点，截弦为“焦点弦”。对于“焦点和弦”，除了上面提到的求弦长的方法，我们还可以考虑下面对| AB | = | AF2 |+| BF2 |的研究来继续我们的研究。

实例4

已知椭圆的圆心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y = x+1与椭圆相交于

分析:

不清楚问题设置中椭圆焦点在X轴还是Y轴。所以在选择标准方程形式时，并不清楚A > B还是A < B，哪一个是其中之一。另一方面，问题涉及相交p和q两个条件，简化了计算。

解决方案:

设椭圆的方程为

根据题意，P点和Q点的坐标满足方程。

将②代入①得到

(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0。

③

设方程③的两个根分别为x1和x2，则直线Y = X+1与椭圆P(x1，x1)和Q(x2，X2+1)的交点。

收拾一下，拿

求解X1+X2和x1+x2，得到

解决它，得到它。

因此，椭圆方程是

评论:

这个题目是椭圆和维耶塔定理的巧妙结合。

轨迹和合成

示例1

已知点P在直线X = 2上运动，直线L过原点，过垂直于OP的点A (1，0)，直线M与点P的直线L相交于点Q，从而求出点Q的轨迹方程，指出轨迹的名称及其焦点坐标。

解决方案1:

设Q(x，y)，P(2，t)

∵OP⊥OQ，

∴ty=-2x.①

∵Q，A，P三点* * *线，

即y = t (x-1)。

如果t≠0，那么t被①和②消去，这样，就。

2x2+y2-2x=0(y≠0)。(※)

如果t = 0，那么p (2，0)，l: x = 0。

∴ q (0，0)也满足公式(※)。

综上所述，动点Q的轨迹方程为

解决方案2:

当l⊥x轴，那么q (0，0)。

当l不垂直于x轴时，设l: y = kx，其中k ≠ 0。

解方程

设Q(x，y)，那么y = kx。①.

将①和②合并，消去K，得到2x2+y2-2x = 0 (y ≠ 0)。

Q (0，0)也适用于上述公式。

∴点q的轨迹方程是

轨道名称和焦点坐标是同一个解决方案。

评论:

点q的运动可以看作点p的运动，所以点p的纵坐标可以作为描述点q运动规律的参数；点Q的运动也可以看作直线L绕原点的运动，因此可以选择直线L的倾角或斜率来建立Q的横坐标和纵坐标之间的关系.

示例2

另一点Q在OP上，满足| OQ || OP | =|或| 2(如图2)。当点P沿直线L运动时，求点Q的轨迹方程，说明轨迹是什么曲线。

分析:

给定的方程| oq ||| op | = |或| 2不仅涉及我们需要的动点Q，还包含动点P和R，为了得到Q的轨迹方程，要建立P、R和Q的坐标之间的关系，可以通过O、Q、P和R的直线的组合，R点和椭圆的组合，P点和直线的组合来确定。用XOP = θ来描述q，r，p的坐标也是一个很好的方法。如果q、p和r被投影到x轴上，问题可以被表示如下

解决方案1:

我们假设Q点不在原点。我们假设P(xP，yP)，R(xR，yR)和Q(x，Y)，其中X和Y不都是0。

当点P不在Y轴上时，从椭圆上的点R和O，Q，R的直线，我们可以得到

解决它，得到它。

从直线L上的点P和O、Q、P的直线，我们可以得到

当点P在Y轴上时，P (0，8)，R (0，4)，Q (0，2)容易验证①，②，③，④都为真。

从题目| OQ || OP | = |或| 2中，得出。

把①、②、③、④代入上式，就得到

∵x与xP同数，Y与yP同数；

③和④的∴ 2x+3y > 0。

解决方案2:

我们假设Q点不在原点。我们假设P(xP，yP)，R(xR，yR)和Q(x，Y)，其中X和Y不全为零。

设∠ XOP = α，有以下几种:

xP=|OP| cosα，yP = | OP | sinα

xR=|OR| cosα，yR = | OR | sinα

x=|OQ|科斯α，y=|OQ|科斯α。

等式| OQ || op | = |或| 2由上述公式和问题给出。

从直线L上的点P和椭圆上的点，我们得到

将①、②、③、④代入⑤、⑤得到。

收拾一下，拿

平行于X轴的椭圆，去掉原点O (0，0)。

解决方案3:

q不在原点。设P(xP，yP)，R(xR，yR)和Q(x，y)，其中x和y不同时为零。

∵| OQ | | OP | = |或|2

根据题意，X，xP，xR有相同的数，Y，yP，yR有相同的数，所以

因为点P(xP，yP)在直线L和O、P、Q的直线上，所以得到

将①和②代入公式(※)，我们得到

轴平行于X轴的椭圆，移除原点O (0，0)。

评论:

本题是1995全国高考数学试题的压轴戏，今年的文科试题是它的姊妹题:

知道点Q在OP上，且满足| OQ || OP | =|或| 2。当Q点在L上运动时，求Q点的轨迹方程，说明轨迹是什么曲线。

示例3

沿X轴折成直二面角，求AB的连线与X轴所成的角。

解决方案:

B引导BC‖OX与C中的椭圆相交，B和C关于Y对称，A和C关于x对称。

∴| AD | = | DC |并且AD和DC都垂直于x轴。

坐标平面折叠后，同一平面内点或线的位置关系不变，仍有| AD | = | DC |且AD和DC都垂直于X轴。

∠ADC是二面角的平面角，

AD⊥平面BOC在图3中示出，

∵BC⊥CD根据三条互相垂直的定理，得出了公元前⊥的交流电。

在Rt△ABC中，同构前|BC|是2|OA|cosα，

评论:

(1)本题涉及的知识点有:椭圆方程、三角函数概念及直角三角形各角之间的关系、二面角的平面角、三垂线定理及异面上线所成的角。

(2)这是一个解析几何和立体几何的综合问题。根据题目画出直观的视图，辅助空间想象。折叠后，同一平面内的点和直线的相对位置保持不变，而不同平面内的点和直线的相对位置发生变化。这是判断位置关系时要注意的。