全国初中数学联赛试题
2001全国初中数学联赛初审
一、选择题(每小题7分，***42分)
1，A，B，C是有理数，等式a+b√2+c√3 = √(5+2√6)成立，那么2a+999b+1001c的值是()。
(a)1999(b)2000(c)2001(d)无法确定。
2.如果ab≠1，且5a2+2001a+9 = 0，9b2+2001b+5 = 0，则a/b的值为()。
(A)9/5(B)5/9(C)-2006/5438+0/5(D)-2006/5438+0/9
3.已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长度为()。
(A)2+√3(B)2-√3(C)3/10(D)√3-√2
4.在△ABC中，D是AC边上的一点。下列四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是()。
(A)AD BC = AB BD(B)AB2 = AD AC(C)∠ABD =∠ACB(D)AB BC = AC BD
5.①在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c = 0的根为X =-B/2A√(B2-4ac)/2A；②在△ABC中，若ac2+bc2 > ab2，则△ABC为锐角三角形；③在△ABC和△A'B'C中，A、b、c分别是△ABC的三条边。如果a > a '，b > b '，c > c '，则△ABC的面积s大于△A'B'C '的面积。在上述三个命题中，伪命题的数量是()
(A)0(B)1(C)2(D)3
6.某商场给顾客优惠，规定:①购物一次性不超过200元，不打折；(2)一次购物满200元不满500元的，按标价打九折；(3)购物一次性超过500元的，500元按第(2)条优惠，超过500元部分打八折。有人去购物两次，分别支付了168元和423元；如果他只为同样的商品购物一次，应付金额是()
(A)522.8元(B)510.4元(C)560.4元(D)472.8元。
二、填空(每道小题7分，***28分)
1，已知点P在直角坐标系中的坐标为(0，1)，O为坐标原点，∠QPO=1500，P到Q的距离为2，则Q的坐标为_ _ _ _ _。
2.给定半径为1和2的两个圆与点P相切，则从点P到这两个圆的切线的距离是_ _ _ _ _。
3.已知x和y为正整数，xy+x+y=23，则x2+y2 = _ _ _ _ _。(非原标题)
4.正整数。如果分别加上100和168，可以得到两个完整的正方形。这个正整数是_ _ _ _ _ _。
2008年全国初中数学联赛
2008年4月13日上午8:30-9:30
1.选择题:(此题满分42分，每小题7分)
1，设a ^ 2+1 = 3a，b ^ 2+1 = 3b，a ≠ b，则代数式+的值为()。
5 (B)7 (C)9 (D)11
2.如图，设AD，BE，CF为△ABC的三个高度。若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长度为()。
(A) (B)4 (C) (D)
3.如果从写有数字1、2、3、4、5的五张牌中随机抽取两张牌，将第一张牌上的数取为十位数，第二张牌上的数取为个位数，组成一个两位数，则所形成的数是3的倍数的概率为()。
(A) (B) (C) (D)
4.在△ABC中，∠ ABC = 12，∠ ACB = 132，BM和CN分别是这两个角的平分线，点M和N分别在直线AC和AB上，则()。
(A)BM & gt；CN(B)BM = CN(C)BM & lt；CN (D)BM和CN的关系不确定。
5.从今天起，相同价格的五种不同商品的价格将分别降低10%或20%。过了几天，这五种商品的价格就不一样了。设最高价与最低价之比是R，那么R的最小值是()。
(A)3(B)4(C)5(D)
6.已知实数x和y满足(x –)(y –) = 2008。
3 x2–2 y2+3x–3y–2007的值是()。
(A)-2008年(B)-2008年(C)-1(D)1
填空:(此题满分28分，每小题7分)
1，设a =，则=。
2.如图，正方形ABCD的边长为1，m和n是BD所在直线上的两点，AM =，∠ man = 135，则四边形AMCN的面积为。
3.已知二次函数y = X ^ 2+a X+b的图像与X轴的两个交点的横坐标分别为m和n，| m |+| n | ≤ 1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p和q，则| p |+| q | =。
4.把正整数1，2，3，…的平方排成一串:1491625364964810012165438…，排在第一位。
答案:b，d，c，b，b，d；– 2、 、 、1。
2003年全国初中数学联赛
一、选择题(本题满分42分，每道小题7分)
1.2 √( 3-2√2)+√( 17-12√2)等于
a . 5-4√2 b . 4√2-1 c . 5d . 1
2.在凸10多边形的所有内角中，锐角的个数最多
A.0 B.1 C.3 D.5
3.若函数y = kx (k > 0)和函数y = 1/x的像相交于a点和c点，AB垂直于b中的x轴，则△ABC的面积为
A.1 B.2 C.k D.k2
4.满足等式x√y+y√x-√( 2003 x)-√( 2003 xy)= 2003的正整数对的个数为
A.1
5.设△ABC的面积为1，D为AB边上的一点，AD/AB = 1/3。如果在AC边上取一点E，使四边形的面积为DECB的3/4，则CE/EA的值为
A.1/2b 1/3c 1/4d 1/5
6.如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C点的圆的交点为AD，与CD相切。如果AB=4，BE=5，则DE的长度为
A.3 B.4 C.15/4 D.16/5
二、填空(此题满分28分，每小题7分)
1.抛物线y = ax2 +bx +c与X轴相交于A点和B点，与Y轴相交于c点，若△ABC为直角三角形，则AC = _ _ _ _ _ _ _。
2.设m为整数，两个方程3x2+mx-2 = 0都大于-9/5小于3/7，则m = _ _ _ _ _ _ _ _ _。
3.如图AA '和BB '所示，分别是∠EAB和∠DBC的平分线。如果AA' = BB' = AB，则∠BAC的度为_ _ _ _ _ _ _ _ _。
4.已知正整数A和B之差是120，它们的最小公倍数是它们的最大公约数的105倍，所以A和B中较大的数是_ _ _ _ _ _ _ _。
2007年全国初中数学联赛
首次尝试
一、选择题(每小题7分，***42分)
1.已知值为()。
(A)1 (B) (C) (D)
2.当值分别为2、…、2006、2007时，计算代数式的值，将所得结果相加，和等于()。
(A)-1 (B)l (C)0 (D)2007
3.Let是三条边的长度，二次函数取最小值。那么△ABC就是()。
(a)等腰三角形(b)锐角三角形
(c)钝角三角形(d)直角三角形
4.已知锐角△ABC的顶点A到竖心H的距离等于其外接圆的半径。那么∠A的度数就是()。
30 (B)45 (C)60 (D)75
5.设k为△ABC中的任意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F，则S △ DEF: S △ ABC的值为()。
(A) (B) (C) (D)
6.书包里有五个红球，六个黑球和七个白球。现在袋中抽出15个球，抽出的球中正好有三个红球的概率是()。
(A) (B) (C) (D)
二、填空(每道小题7分，***28分)
1.设是的小数部分，是的小数部分。
2.对于所有不小于2的自然数，一元二次方程的两个根写成。然后
= .
3.已知直角梯形ABCD的四条边为AB=2，BC=CD=10，AD=6。若两点过B、D做圆，在E点与BA的延长线相交，在F点与CB的延长线相交，则BE-BF的值为。
4.如果sum是一个四位数，并且是一个完整的平方数，则该整数的值为。
第二次尝试
第一卷
一，(20分)设为正整数，若为所有实数，则为二次函数
图像与轴的两个交点之间的距离不小于的值。
(25分钟)如图L所示，四边形ABCD为梯形，E点为上底AD上的一点，CE的延长线与BA的延长线相交于f点，BA与E点的平行线与CD的延长线相交于M点，BM与AD相交于n点证明:∠ AFN = ∠ DME。
(25分)已知为正整数。如果方程的根都是整数，那么和的值和方程的整数根。
卷b
1.(20分)是正整数，二次函数的像到轴的两个交点的距离是，二次函数的像到轴的两个交点的距离是。如果对所有实数都成立，则为要求的值。
2.(25分)同a卷第二题.
3.(25分)设它是正整数，二次函数是反比例函数。如果两个函数的图像的交集是一个整数点(横坐标和纵坐标都是整数点)，则。
卷c
I (20分)与b卷第一题相同.
2.(25分)同a卷第二题.
3.设(25分)为正整数。如果二次函数和反比例函数的图像有整数点(横坐标和纵坐标都是整数的点)，求值和对应的整数点。
2006年全国初中数学联赛
首次尝试
一、选择题(每小题7分，***42分)
1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，S、P分别用来表示四边形ABCD的面积和周长；S1和p1分别代表四边形EFGH的面积和周长。假设下列说法是正确的()。
(a)都是恒定值；(b)都是常数值，但不是常数值。
(c)不是常数，而是常数；(d)两者都不是常数。
2.已知它是一个实数，与两个方程有关。那么的值就是()。
(A) (B) (C) (D)1
3.关于的方程只有两个不同的实根。那么实数的范围是()。
(A)a>0 (B)a≥4 (C)2 4.设实数的大小关系为()。 (A) (B) (C) (D) 5.是一个有理数并且满足等式，那么的值就是()。 2 (B)4 (C)6 (D)8 6.将“至少有一个数为0且为4的倍数的正整数”由小到大排列成一列:20，40，60，80，100，104，...那么这一栏的数字158就是()。 (A)2000年(B)2004年(C)2008年(D)2012 二、填空(每道小题7分，***28分) 1.函数图像与轴的交点横坐标之和等于。 2.在等腰中，AC=BC=1，m是BC的中点，CE⊥AM在e点，AB在f点，则S△MBF=。 3.设具有最小值的实数为。 4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O (0，0)，A (100，0)，B(100，100)，C (0，100)。如果正方形0ABC的内部(边界和 让网格点p称为“好点”。那么正方形OABC中好点的数量是。 注:所谓网格点，是指平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点。 第二次尝试 第一卷 1.(20分)已知一元二次方程没有不同的两个实根。满足条件的有序正整数有几组？ (25分)如图L所示，D是等腰△ABC的底BC的中点，E和F分别是AC及其延长线上的点。已知∠ EDF = 90。ED = DF = 1，AD = 5。求BC线的长度。 三。(25分)如图2所示，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC和DC的延长线相交于E点和F点，O点和O1点分别是△CEF和△ABE的震中。验证: (1)O，E和O1三点* * *线； (2) 卷b I (20分)与a卷第一题相同. 2.(25分)同a卷第二题. 三。(25分钟)如图2所示，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC和DC的延长线相交于E点和F点，O点和O1点分别是△CEF和△ABE的震中。 (1)验证:O、E和01三点* * *线； (2)如果找到了学位。 卷c 一、(20分)同a卷第二题. 2.(25分)同b卷第三题. (25点)设为正整数，在平面直角坐标系中，点与点之间的连线通过一个网格点。证明: 如果(1)是一个素数，则除了原点o (0，0)与该点的连线上的端点外，不存在其他网格； (2)如果原点o (0，0)与该点的连线上除了端点外没有其他网格，则P是一个素数。