全国大学生数学竞赛考试范围

非数学高等数学考试大纲如下

一、函数、极限和连续性

1.？函数的概念和表示，简单应用题的函数关系的建立。

2.？函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3.？复合函数、反函数、分段函数和隐函数的性质，基本初等函数及其图形和初等函数。

4.？数列极限和函数极限、函数的左极限和右极限的定义和性质。

5.？无穷小和无穷的概念及其关系，无穷小的性质和无穷小的比较。

6.？极限的四则运算，单调有界准则和极限存在的pinch准则，两个重要的极限。

7.？函数的连续性(包括左连续性和右连续性)和函数不连续的类型。

8.？连续函数的性质和初等函数的连续性。

9.？闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值定理、最小值定理、中间值定理)。

二、一元函数微分学

1.导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性和连续性的关系，平面曲线的切线和法线。

2.基本初等函数的导数、导数、微分的四则运算，一阶微分形式的不变性。

3.复变函数、反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的微分方法。

4.高阶导数的概念，分段函数的二阶导数和一些简单函数的n阶导数。

5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理。

6.洛必达法则与求不定式的极限。

7.函数的极值，函数的单调性，函数图形的凹凸性，拐点和渐近线(水平、垂直、斜渐近线)，函数图形的描述。

8.函数的最大值和最小值及其简单应用

9.弧微分、曲率和曲率半径。

3.一元函数积分学

1.？原函数和不定积分的概念。

2.？不定积分的基本性质和基本积分公式。

3.？定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，可变上限定积分的函数和导数，牛顿-莱布尼兹公式。

4.不定积分、定积分和分部积分的换元积分法。

5.？有理函数、三角函数的有理表达式和简单无理函数的积分。

6.？广义积分

7.？定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、侧面积、平行截面的面积是已知固体体积、功、重力、压力、函数的平均值。

四。常微分方程

1.？常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解。

2.？可分离变量微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，全微分方程。

3.一些可以用简单变量代换求解的微分方程和高阶微分方程:。

4.线性微分方程解的性质和解的结构定理。

5.？二阶常系数齐次线性微分方程和一些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

6.？简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和与积。

7.？欧拉方程。

8.？微分方程的简单应用

动词 （verb的缩写）向量代数与空间解析几何

1.？向量的概念，向量的线性运算，向量的定量积，叉积和向量的混合积。

2.？两个矢量垂直平行的条件和两个矢量的夹角。

3.？向量的坐标表示及其运算，单位向量，方向数，方向余弦。

4.？曲面方程和空间曲线方程、平面方程和直线方程的概念。

5.？平面与平面的夹角，平面与直线的夹角，直线与直线的夹角，平行与垂直的条件，点到平面的距离，点到直线的距离。

6.？球体，母线平行于坐标轴的圆柱体，以旋转轴为坐标轴的旋转曲面方程，常见的二次方程及其图形。

7.？空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程。

6.多元函数微分学

1.？多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2.？二元函数的极限和连续性概念以及多元连续函数在有界闭区域上的性质。

3.？多元函数偏导数和全微分存在的充要条件。4.多元复合函数和隐函数的求导。5.二阶偏导数、方向导数和梯度。

4.？空间曲线的切平面和法线，曲面的切平面和法线。

5.？二元函数的二阶泰勒公式

6.？多元函数的极值和条件极值，拉格朗日乘数法，多元函数的最大值和最小值及其简单应用。

七、多元函数积分学

1.？二重积分和三重积分的概念和性质，二重积分(直角坐标，极坐标)和三重积分(直角坐标，柱坐标，球坐标)的计算。

2.？两类曲线积分的概念、性质和计算，以及两类曲线积分之间的关系。

3.？格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知二元函数的原函数。

4.？两类曲面积分的概念、性质和计算，以及两类曲面积分之间的关系。

5.？高斯公式、斯托克斯公式、散度和旋度的概念和计算。

6.？多重积分、曲线积分、曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、表面积、弧长、质量、质心、惯性矩、重力、功、流等。)

八、无穷级数

1.？常数级数的敛散性，收敛级数的和，级数的基本性质以及收敛的必要条件。

2.？几何级数与P级数及其收敛，正项级数收敛的判别，交错级数与莱布尼兹的判别。

3.？任意项级数的绝对收敛和条件收敛。

4.？函数项级数的收敛域与和函数的概念。

5.？幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域和和函数。

6.？幂级数在其收敛区间的基本性质(和函数的连续性、逐项求导、逐项积分)以及简单幂级数和函数的求解。

7.？初等函数的幂级数展开。

8.？函数的傅立叶系数和傅立叶级数，狄利克雷定理，[-1，1]上函数的傅立叶级数，[0，1]上函数的正弦级数和余弦级数。

一、函数、极限和连续性

1.？函数的概念和表示，简单应用题的函数关系的建立。

2.？函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3.？复合函数、反函数、分段函数和隐函数的性质，基本初等函数及其图形和初等函数。

4.？数列极限和函数极限、函数的左极限和右极限的定义和性质。

5.？无穷小和无穷的概念及其关系，无穷小的性质和无穷小的比较。

6.？极限的四则运算，单调有界准则和极限存在的pinch准则，两个重要的极限。

7.？函数的连续性(包括左连续性和右连续性)和函数不连续的类型。

8.？连续函数的性质和初等函数的连续性。

9.？闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值定理、最小值定理、中间值定理)。

二、一元函数微分学

1.导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性和连续性的关系，平面曲线的切线和法线。

2.基本初等函数的导数、导数、微分的四则运算，一阶微分形式的不变性。

3.复变函数、反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的微分方法。

4.高阶导数的概念，分段函数的二阶导数和一些简单函数的n阶导数。

5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理。

6.洛必达法则与求不定式的极限。

7.函数的极值，函数的单调性，函数图形的凹凸性，拐点和渐近线(水平、垂直、斜渐近线)，函数图形的描述。

8.函数的最大值和最小值及其简单应用

9.弧微分、曲率和曲率半径。

3.一元函数积分学

1.？原函数和不定积分的概念。

2.？不定积分的基本性质和基本积分公式。

3.？定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，可变上限定积分的函数和导数，牛顿-莱布尼兹公式。

4.不定积分、定积分和分部积分的换元积分法。

5.？有理函数、三角函数的有理表达式和简单无理函数的积分。

6.？广义积分

7.？定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、侧面积、平行截面的面积是已知固体体积、功、重力、压力、函数的平均值。

四。常微分方程

1.？常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解。

2.？可分离变量微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，全微分方程。

3.一些可以用简单变量代换求解的微分方程和高阶微分方程:。

4.线性微分方程解的性质和解的结构定理。

5.？二阶常系数齐次线性微分方程和一些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

6.？简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和与积。

7.？欧拉方程。

8.？微分方程的简单应用

动词 （verb的缩写）向量代数与空间解析几何

1.？向量的概念，向量的线性运算，向量的定量积，叉积和向量的混合积。

2.？两个矢量垂直平行的条件和两个矢量的夹角。

3.？向量的坐标表示及其运算，单位向量，方向数，方向余弦。

4.？曲面方程和空间曲线方程、平面方程和直线方程的概念。

5.？平面与平面的夹角，平面与直线的夹角，直线与直线的夹角，平行与垂直的条件，点到平面的距离，点到直线的距离。

6.？球体，母线平行于坐标轴的圆柱体，以旋转轴为坐标轴的旋转曲面方程，常见的二次方程及其图形。

7.？空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程。

6.多元函数微分学

1.？多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2.？二元函数的极限和连续性概念以及多元连续函数在有界闭区域上的性质。

3.？多元函数偏导数和全微分存在的充要条件。4.多元复合函数和隐函数的求导。5.二阶偏导数、方向导数和梯度。

4.？空间曲线的切平面和法线，曲面的切平面和法线。

5.？二元函数的二阶泰勒公式

6.？多元函数的极值和条件极值，拉格朗日乘数法，多元函数的最大值和最小值及其简单应用。

七、多元函数积分学

1.？二重积分和三重积分的概念和性质，二重积分(直角坐标，极坐标)和三重积分(直角坐标，柱坐标，球坐标)的计算。

2.？两类曲线积分的概念、性质和计算，以及两类曲线积分之间的关系。

3.？格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知二元函数的原函数。

4.？两类曲面积分的概念、性质和计算，以及两类曲面积分之间的关系。

5.？高斯公式、斯托克斯公式、散度和旋度的概念和计算。

6.？多重积分、曲线积分、曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、表面积、弧长、质量、质心、惯性矩、重力、功、流等。)

八、无穷级数

1.？常数级数的敛散性，收敛级数的和，级数的基本性质以及收敛的必要条件。

2.？几何级数与P级数及其收敛，正项级数收敛的判别，交错级数与莱布尼兹的判别。

3.？任意项级数的绝对收敛和条件收敛。

4.？函数项级数的收敛域与和函数的概念。

5.？幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域和和函数。

6.？幂级数在其收敛区间的基本性质(和函数的连续性、逐项求导、逐项积分)以及简单幂级数和函数的求解。

7.？初等函数的幂级数展开。

8.？函数的傅立叶系数和傅立叶级数，狄利克雷定理，[-1，1]上函数的傅立叶级数，[0，1]上函数的正弦级数和余弦级数。

全国大学生数学竞赛大纲如下:

数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%。详情如下:

ⅰ.数学分析部分？

1.设置和功能？

1.实数集的稠密性，有理数和无理数，实数集的边界和上确界，上确界存在定理，闭区间集定理，聚点定理，有限覆盖定理。

2.距离、邻域、聚点、边界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点序列on以及上述概念和定理的推广。

3.函数、映射、变换的概念及其几何意义，隐函数、反函数、逆变换的概念，反函数的存在定理，初等函数及其相关性质。

二、极限和连续性？

1.数列的极限，收敛数列的基本性质(极限唯一性，有界性，保号性，不等式性质)。

2.序列收敛的条件(柯西准则，强制收敛，单调有界原理，序列收敛与其子序列收敛的关系)，重要极限及其应用。

3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式和强制收敛)、归结原理和柯西收敛准则、两个重要极限及其应用、一元函数极限的各种计算方法、无穷小与无穷小量和阶的比较、O and O的意义、多元函数的多重极限和重复极限的概念和基本性质、二元函数。

4.函数的连续性和不连续性，一致连续性，连续函数的局部性质(局部有界和保号)，有界闭集上连续函数的性质(有界性，最大值定理，中值定理，一致连续性)。

三、一元函数的微分学？

1.导数及其几何意义，可微性与连续性的关系，导数的各种计算方法，微分及其几何意义，可微性与可微性的关系，一阶微分形式的不变性。

2.微分学基本定理:费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式(阿砣余项和拉格朗日余项)。

3.一元微分学的应用:函数单调性的判别，极值，最大值，最小值，凸函数及其应用，曲线的凹凸性，拐点，渐近线，函数图像的讨论，洛必达法则，近似计算。

四、多元函数微分学？

1.偏导数、全导数及其几何意义、可微性与偏导数的存在性和连续性的关系、复合函数的偏导数和全导数、一阶微分形式的不变性、方向导数和梯度、高阶偏导数、混合偏导数和阶无关性、二元函数的中值定理和泰勒公式。

2.隐函数存在定理，隐函数组存在定理，隐函数(组)的求导方法，反函数组，坐标变换。

3.几何应用(平面曲线的切线和法线，空间曲线的切线和法线，曲面的切线和法线)。

4.极值问题(充要条件)、条件极值和拉格朗日乘数法。

动词 （verb的缩写）一元函数的积分学？

1.原函数与不定积分，不定积分的基本计算方法(直接积分法，换元法，分部积分)，有理函数积分(三角有理型，根式型)。

2.定积分及其几何意义，可积条件(必要条件，充要条件)和可积函数类。

3.定积分的性质(关于区间可加性，不等式，绝对可积性，定积分第一中值定理)，变上限积分函数，微积分基本定理，定积分的N-L公式及计算，定积分第二中值定理。

4.无穷区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛和条件收敛、f(x)非负时无穷区间的收敛判定方法(比较原理、Cauchy判定方法)、Abel判定方法、Dirichlet判定方法、无界函数广义积分概念及其收敛判定方法。

5.无穷小法、几何应用(平面图形的面积、已知截面积函数的体积、曲线的弧长与弧微分、旋转体的体积)等应用。

六、多元函数积分？

1.二重积分及其几何意义，二重积分的计算(分成重复积分，极坐标变换，一般坐标变换)。

2.三重积分，三重积分计算(分为重复积分，柱坐标和球坐标变换)。

3.多重积分的应用(体积、表面积、重心、惯性矩等。)?

4.含参数的正规积分及其连续性、可微性和可积性、运算顺序的互换性、含参数的广义积分的一致收敛及其判别方法、含参数的广义积分的连续性、可微性和可积性、运算顺序的互换性。

5.第一类曲线积分和曲面积分的概念、基本性质和计算。

6.第二类曲线积分的概念、性质和计算:格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

7.曲面的边积分和第二类曲面积分的概念、性质和计算，奥格公式和斯托克公式，两类线积分和两类面积分数的关系。

七、无穷级数？

1.数列？

级数及其敛散性，级数的和，柯西准则，收敛的必要条件，收敛级数的基本性质；正项级数收敛的充要条件、比较原理、比值判别法、根判别法及其极限形式；交错级数的莱布尼茨判别法:绝对收敛、条件收敛、一般项级数的阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。

2.函数项级数？

函数序列与函数项级数的一致收敛，柯西准则，一致收敛判别法(M-判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法)，一致收敛函数序列与函数项级数及其应用。

3.幂级数？

幂级数的概念，阿贝尔定理，收敛半径和区间，幂级数的一致收敛，逐项可积性，可微性及其应用，幂级数的系数与其和函数的关系，函数的幂级数展开，泰勒级数和马克劳林级数。

4.傅立叶级数？

三角级数，三角函数系的正交性，2和2周期函数的傅立叶级数展开，普韦尔不等式，黎曼-勒贝格定理，分段光滑函数的傅立叶级数的收敛定理。

Ⅱ.高等代数？

一、多项式？

1.数域和一元多项式的概念？

2.多项式整除、带余数整除、最大公因式整除、相位整除？

3.互质，不可约多项式，多重因子和多重根。

4.多项式函数，余数定理，多项式的根和性质。

5.代数基本定理，复系数因式分解，实系数多项式。

6.本原多项式，高斯引理，有理系数多项式的因式分解，艾森斯坦判别法，有理数域上多项式的有理根。7.多元多项式和对称多项式，维耶塔定理。

二、行列式？

1的定义。行列式。

2.n阶行列式的性质？

3.行列式的计算。

4.行列式按行(列)展开。

5.拉普拉斯展开定理。

6.克莱姆法则。

三、线性方程组？

1.高斯消元法，线性方程组的初等变换，线性方程组的通解。

2.n维向量运算和向量组。

3.向量的线性组合，线性相关与线性无关，两个向量组等价。

4.向量组的极大独立组和向量组的秩。

5.矩阵的行秩、列秩、秩，以及矩阵的秩与其子公式之间的关系。

6.线性方程组的判别定理和线性方程组解的结构。

7.齐次线性方程组的基本解系、解空间和维数？

第四，矩阵？

1.矩阵的概念，它的运算(加法、数乘、乘法、转置等。)及其运行规律。

2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩及其因子的秩之间的关系。

3.矩阵的逆、伴随和可逆的条件。

4.分块矩阵及其运算和性质。

5.初等矩阵、初等变换和矩阵的等价标准形。

6.分块初等矩阵和分块初等变换。

5.双线性函数和二次型？

1.双线性函数，对偶空间？

2.二次型及其矩阵表示。

3.二次型的标准形，化二次型为标准形的匹配法，初等变换法，正交变换法。

4.复数域和实数域中二次型标准型的唯一性和惯性定理。

5.正定、半正定、正定二次型和正定、半正定矩阵？

六、线性空间？

1.线性空间的定义和简单性质。

2.尺寸、基础和坐标。

3.基变换和坐标变换。

4.线性子空间。

5.子空间的交和，维数公式和子空间的直和。

七、线性变换？

1.线性变换的定义、运算和矩阵。

2.特征值和特征向量，可对角化的线性变换。

3.相似矩阵，相似不变量，汉密尔顿-凯利定理。

4.线性变换的值域、核和不变子空间。

八、如果是标准形状呢？

1.矩阵。

2.行列式因子、不变因子、初等因子和矩阵相似的条件。

3.如果是标准形状。

9.欧几里得空间？

1.内积和欧氏空间，向量的长度，夹角和正交性，度量矩阵。

2.标准正交基、正交矩阵和施密特正交化方法。

3.欧几里得空间的同构。

4.子空间的正交变换和正交补。

5.对称变换，实对称矩阵的标准形。

6.主轴定理，用正交变换将实二次型或实对称矩阵化为标准型。

7.酉空间。

Ⅲ.解析几何？

一、矢量和坐标？

1.向量的定义与表示，向量的线性运算，向量的分解，几何运算。

2.坐标系的概念，向量和点之间的坐标，向量的代数运算。

3.向量在轴上的投影及其性质，向量的方向余弦和夹角。

4.矢量积、叉积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法和应用。

5.用向量解决一些几何和三角问题。

二、轨迹和方程？

1.曲面方程的定义:一般方程、参数方程(矢量公式与坐标公式的相互转换)及其关系。

2.空间曲线方程的一般形式和参数方程形式及其关系。

3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法，以及应用向量建立简单曲面和曲线方程。

4.球面的标准方程和一般方程，母线平行于坐标轴的柱面方程。

三、平面与空间直线？

1.平面方程和直线方程的各种形式，以及方程中相关字母的含义。

2.根据平面和直线的几何条件，用适当的方法建立平面和直线的方程。

3.根据平面与直线的方程，确定平面与平面、直线与直线、平面与直线的位置关系。

4.根据平面和直线的方程以及点的坐标，判断点、平面和直线的位置关系，计算它们之间的距离和交角。求两异面直线的公垂线方程。

二次曲面？

1.定义圆柱、圆锥、回转面，求圆柱、圆锥、回转面方程。

2.根据不同情况建立椭球面、双曲面、抛物面的标准方程和主要性质，以及二次曲面的标准方程。

3.双曲面和双曲抛物面的直线度及双曲面和双曲抛物面直母线的求法。

4.根据给定的直线族，求解其表示的直纹面方程，解决了运动直线和运动曲线的轨迹问题。

5.二次曲线通论？

1.二次曲线的渐近方向、中心和渐近线。

2.二次曲线的切线、正常点和奇异点。

3.圆锥的直径，轭的方向和轭的直径。

4.圆锥曲线的主轴、主方向、特征方程和特征根。

5.简化二次曲线方程，画出曲线在坐标系中的位置。