用收敛准则证明数列极限的高等数学证明

(1)显然x2 = √ (2 √ 2) > √ 2 = x1，假设xk > xk-1。那儿有

Xk+1 = √( 2Xk)> √( 2Xk-1)= Xk。

根据归纳法，对于所有正整数n，都有xn+1 > xn。也就是说，序列{Xn}单调增加。

②明显X1 < 2。假设XK < 2，有。

Xk+1=√(2Xk)<√(2×2)=2。

根据归纳法，对于所有正整数n，都有xn < 2。也就是说，序列{Xn}有一个上界。

因此，序列{Xn}收敛。

2.设lim(n趋于无穷大)xn = L .那么lim xn+1 = L。

Xn+1 = √ (2xn)取两边的极限得到L = √ (2l)。即

L 2-2l = 0。∴ L = 0(无关，省略)或L = 2。

所以lim(n趋于无穷大)xn = 2。