高数真题100题
f '(1)=3+2a+b=0.........(1);f(1)= 1+a+b =-12..........(2)
A=10，b=-23，用于两个方程的联立求解。
3。Arctan(y/x)=2ln√(x？+y？)，找到dy/dx
解法:使函数F(x，y)=arctan(y/x)-2ln√(x？+y？)=0，那么
dy/dx=-(？F/？x)/(？F/？y)=-[-(y/x？)/(1+y？/x？)-2x/(x？+y？)]/[(1/x)/(1+y？/x？)-2y/(x？+y？)]=(y+2x)/(x-2y)
4。求极限x→0 lim { 1/x-1/[(e x)-1]}
解:原公式= x→0 lim[(e x)-1-x]/{ x[(e x)-1]} = x→0 lim[(e x-1)][(e x)
=x→0lim[(e^x)/(2e^x+xe^x)=1/2
5。F(x，y)=y？+2y-x-3x？=0，求dy/dx(x=0，y=0)
解:dy/dx=-(？F/？x)/(？F/？y)=(1+21x？)/(5y？+2)∣x=0,y=0=1/2
6。假设y=xsin2x，求y ' ' '
解:y ' = sin2x+2 xcos 2 x；y ' ' = 2 cos 2 x+2 cos 2 x-4x sin 2 x = 4 cos 2 x-4x sin 2 x；
y ' ' ' =-8 sin 2 x-4 sin 2 x-8 xcos 2 x =-12 sin 2 x-8 xcos 2 x。
7。给定x→0lim[(ax+2sinx)/x]=2，求a。
解:x→0 lim[(ax+2 sinx)/x]= x→0 lim(a+2 cosx)= 2，所以a=0的原问题x→∞可能是错的。
8。求极限x→π/2lim[(lnsinx)/(π-2x)？
解:原公式= x→π/2 lim(COTX)/[-4(π-2x)]= x→π/2 lim[-(CSC？x)/8]=-1/8
9。已知y=？[(x+1)(2x+1)/(x+2)(5-3x)]，求y '
解法:两边的对数给出ln =(1/3)[ln(x+1)+ln(2x+1)-ln(x+2)-ln(5-3x)]
两边x的导数为y '/y =(1/3)[1/(x+1)+2/(2x+1)-1/(x+2)+3/(5-)。
因此，y ' =(1/3)[1/(x+1)+2/(2x+1)-1/(x+2)+3/(5-3x)]y。
=(1/3)[1/(x+1)+2/(2x+1)-1/(x+2)+3/(5-3x)]{？[(x+1)(2x+1)/(x+2)(5-3x)]]
10。y=xarccosx-√(1-x？)，求dy
解:dy =[arc cosx-1/√( 1-x？)+x/√(1-x？)]dx =[arc cosx+(x-1)/√( 1-x？)]dx