一道高中必修的数学题

第一章是集合与函数的概念。

一、相关概念的收集

1.集合的意义

2.集合中元素的三个特征:

(1)元素的确定性如下:世界上最高的山。

(2)元素的互相异性，如快乐字母组成的集合{H，A，P，Y}。

(3)元素的无序性:例如{a，b，c}和{a，c，b}代表同一个集合。

3.集合的表示:{…}比如{我校篮球运动员}、{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

(1)集合用拉丁字母表示:A={我校篮球运动员}，B={1，2，3，4，5}。

(2)集合的表示方法:枚举法和描述法。

注:常用数字集及其符号:

非负整数集(即自然数集)记为:n。

正整数集N*或N+整数集z有理数集q实数集r

1)枚举:{A，B，C...}

2)描述:描述集合中元素的公共属性，并用大括号写出来表示集合的方法。{x？r | x-3 & gt；2}，{ x | x-3 & gt；2}

3)语言描述:示例:{不是直角三角形的三角形}

4)文氏图:

4、集合的分类:

(1)有限集包含一组有限元素。

(2)无限集合包含无限元素集合。

(3)一个没有任何元素的空集的例子:{x | x2 =-5}

二、集合之间的基本关系

1.“包容”关系-子集

注意:A是B的一部分有两种可能(1)；(2)A和B是同一个集合。

另一方面，集合A不包含在集合B中，或者集合B不包含集合A，所以记为A B或B A。

2.“相等”关系:A=B (5≥5且5≤5，则5=5)

例:设A = {x | x2-1 = 0} B = {-1，1}“两个集合若元素相同则相等”。

即:①任何集合都是其自身的子集。答？A

②真子集:如果a？b和a？B然后说集合A是集合B的真子集，写成A B(或B A)。

3如果a？B，B？c，然后a？C

4如果a？同时吗？那么A=B

3.没有任何元素的集合称为空集，记为φ。

规定空集是任意集合的子集，空集是任意非空集的真子集。

n个元素的集合，包含2n个子集和2n-1个真子集。

第三，集合的操作

运算类型交集和并集补集

由属于A和B的所有元素定义，称为A和B的交，标为A B(读作‘A交B’)，即AB = {X | X A，and X B}。

由属于集合A或集合B的所有元素组成的集合称为A和B的并，注:A B(读作‘A和B’)，即A B ={x|x A，或X B})。

设S是一个集合，A是S的子集，S中所有不属于A的元素组成的集合称为S中子集A的补(或补)。

记住，那是

CSA=

皮革

优雅

画

显示

自然

质量A A=A

aφ=φ

A B=B A

一个

A B B

A A=A

Aφ= A

A B=B A

一个

A B B

(CuA)(幼崽)

=铜(硼)

(CuA)(幼崽)

=铜(硼)

A (CuA)=U

a(CuA)=φ。

示例:

1.下列四组对象可以构成一个集合()。

a某班所有的高个学生，B著名的艺术家，C所有的大书，D的倒数等于它自己的实数。

2.集合{a，b，c}有一个真子集。

3.若集合m = {y | y = x2-2x+1，x r}且n = {x | x ≥ 0}，则m与n的关系为。

4.设A=和B=。如果是B，的取值范围是

5.50名学生做了物理和化学两种实验。已知40名学生正确做了物理实验，365，438+0名学生正确做了化学实验。

如果有四个人两个实验都做错了，那么就有两个人两个实验都做对了。

6.表示集合M=。用描述的方法由图形阴影部分的点(包括边界上的点)组成。

7.给定集合A∩C =φ{ x | x2+2x-8 = 0 }，b = {x | x2-5x+6 = 0}，c = {x | x2-MX+m2-19 = 0}，若b ∩ c ≠ φ，

二、函数的相关概念

1.函数的概念:设A，B为非空数集。若集合A中任意一个数X按照一定的对应关系F有唯一的数f(x)与之对应，则F: A → B称为集合A到集合B的函数，记为y=f(x)。与x的值对应的y的值称为函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}称为函数的值域。

注意:

1.定义域:能使函数有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数定义域的主要依据是:

(1)分数的分母不等于零；

(2)偶数根的根数不小于零；

(3)对数公式的真数值必须大于零；

(4)指数和对数表达式的底数必须大于零且不等于1。

(5)如果一个函数是一些基本函数通过四则运算的组合，那么它的定义域就是x的一组使所有部分都有意义的值。

(6)指数为零，底部不能等于零。

(7)实际问题中函数的定义域也要保证实际问题是有意义的。

同函数的判断方法:①表达式相同(不考虑代表自变量和函数值的字母)；(2)域一致性(必须同时满足两点)

(见教材第21页相关例2)

2.值域:先考虑它的定义域。

(1)观察方法

(2)匹配方法

(3)替代法

3.函数图像知识归纳

(1)定义:平面直角坐标系中以函数y=f(x)和(x ∈ a)为横坐标，以函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合c称为函数y=f(x)和(x ∈ a)的像。

(2)绘画

一、追踪方法:

b、图像变换方法

有三种常见的转换方法。

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间。

(2)无限区间

(3)区间的数轴表示。

地图

一般来说，设A和B是两个非空集。如果集合A中的任意元素X根据某个对应规则F有唯一的元素Y与之对应，那么对应F: A B是从集合A到集合B的映射..写下来就是“F(对应):A(原像)B(像)”

对于映射f: a → b，则:

(1)集合A中的每个元素在集合B中都有一个像，且该像是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，对应的集合B中的图像可以相同；

(3)集合B中的每个元素不需要在集合A中具有原始图像..

6.分段函数

(1)在域的不同部分具有不同解析表达式的函数。

(2)各部分自变量的值。

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。

补充:复合函数

若y = f (u) (u ∈ m)，u = g (x) (x ∈ a)，则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为F和g的复合函数。

二。函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)递增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于任意两个自变量x1，x2在定义域I内的一个区间D内，当X1

如果区间d上任意两个自变量的值都是x1，x2，当X1 f (x2)时，那么就说f (x)在这个区间上是一个减函数。区间d称为y=f(x)的单调递减区间。

注意:函数的单调性是函数的局部性质；

(2)形象的特征

如果函数y=f(x)在一定区间内是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在此区间内具有(严格)单调性，增函数的像从左向右上升，减函数的像从左向右下降。

(3)判断函数单调区间和单调性的方法。

(一)定义方法:

○1设x1，x2∈D，x1

2差f(x 1)-f(x2)；

3变形(一般是因式分解和公式)；

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○967

○5得出结论(指出函数f(x)在给定区间d内的单调性)。

(b)图像法(从图像上下看)

(c)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与其组成函数u=g(x)和y=f(u)的单调性密切相关，其规律是“同增异减”。

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间，具有相同单调性的区间不能求和在一起写出它的并。

8.函数的奇偶性(全局属性)

(1)偶数函数

一般来说，对于函数f(x)的定义域中的任意X，都有f (-x) = f(x)，所以f(x)称为偶函数。

(2)奇函数

一般来说，对于函数f(x)的定义域中的任意X，都有f (-x) =-f(x)，所以f(x)称为奇函数。

(3)具有奇偶函数的图像的特征

偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的像关于原点对称。

根据定义判断函数的奇偶性:

○1首先确定函数的定义域，判断是否关于原点对称；

2确定f (-x)与f(x)的关系；

○3得出相应结论:若f (-x) = f(x)或f (-x)-f (x) = 0，则f(x)为偶函数；如果f (-x) =-f(x)或f (-x)+f (x) = 0，则f(x)是奇函数。

注意:函数的定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件。第一，函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，函数是奇数还是偶数。如果是对称的，(1)会根据定义来判断。(2)由f (-x) f (x) = 0或f (x)/f (-x) = 1判断；(3)运用定理或函数的形象判断。

9.函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示。当需要两个变量之间的函数关系时，需要它们之间的对应规律和函数的定义域。

(2)求函数解析表达式的主要方法有:

1)匹配方法

2)待定系数法

3)替代方法

4)参数消去法

10.函数的最大(最小)值(定义见教材p36)

○1利用二次函数的性质(配点法)求函数的最大(最小)值。

○2利用图像求函数的最大(最小)值。

○3利用函数的单调性判断函数的最大(最小)值；

若函数y=f(x)在区间[a，b]单调递增，在区间[b，c]单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

若函数y=f(x)在区间[a，b]单调递减，在区间[b，c]单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

示例:

1.找出下列函数的定义域:

⑴ ⑵

2.设函数的定义域为_ _

3.如果函数的定义域为，则函数的定义域为

4.函数，if，then =

5.找出下列函数的范围:

⑴ ⑵

(3) (4)

6.知道函数，求函数的解析式。

7.如果已知函数满足，那么=。

8.设它是R上的奇函数，如果，，那么if =

R的解析公式为

9.求下列函数的单调区间:

⑴ ⑵ ⑶

10.判断函数的单调性，证明你的结论。

11.设一个函数判断其奇偶性并证明:

第二章基本初等函数

一.指数函数

(一)指数和指数幂的运算

1.部首的概念:一般如果，则称为的第二根，其中>；1和∈ *。

负数没有偶数根；0的任意次方根都是0，记为。

当它是奇数时，当它是偶数时，

2.分数指数的幂

正数分数指数的幂的意义规定:

,

正的分数指数幂0等于0，负的分数指数幂0没有意义。

3.实数指数幂的运算性质

(1) ?；

(2) ;

(3) .

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般来说，一个函数称为指数函数，其中x为自变量，函数的定义域为r .

注意:指数函数的底数范围不能是负数、零和1。

2.指数函数的图像和性质

a & gt1 0 & lt；a & lt1

域r域r

范围y > 0范围y > 0

在R上单调递增，在R上单调递减。

非奇异非偶函数

所有函数图像都经过固定点(0，1)。所有函数图像都经过固定点(0，1)。

注意:利用函数的单调性，结合图像，我们还可以看出:

(1)在[a，b]上，范围为或；

(2)如果是，那么；取所有正数当且仅当；

(3)对于指数函数，总有；

二、对数函数

(1)对数

1.对数的概念:一般来说，如果，那么这个数叫做有底数的对数，写为:(-底数，-真数，-对数公式)。

注:○1注意基数的限制，和；

○2 ;

○3注意对数的书写格式。

两个重要的对数:

○1常用对数:以10为基数的对数；

○2自然对数:基于无理数的对数。

指数公式和对数公式的互易性

幂实数

= N = b

基数

指数对数

(二)对数的运算性质

如果、和、、则:

○1 ?+ ;

○2 - ;

○3 .

注:换底公式

(，和；和；).

利用换底公式得出以下结论。

(1) ;(2) .

(2)对数函数

1，对数函数的概念:函数，又叫对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。

注意:○1对数函数的定义和指数函数类似，都是形式定义，注意辨析。比如，，都不是对数函数，只能叫对数函数。

○2对数函数对基数的限制:，和。

2、对数函数的性质:

a & gt1 0 & lt；a & lt1

域x > 0域x > 0

取值范围为r，取值范围为r。

在R上增加，在R上减少。

函数图像都经过不动点(1，0)。函数图像都经过不动点(1，0)。

(3)幂函数

1.幂函数的定义:一般来说，一个形状函数称为幂函数，其中为常数。

2.归纳幂函数的性质。

(1)所有幂函数都定义在(0，+∞)处，图像都经过(1，1)；

(2)当幂函数的像过原点时，在区间内是递增函数。特别是，当，幂函数的像是凸的；当，幂函数的像是凸的；

(3)、幂函数的图像在区间内是一个减函数。在第一象限中，从右侧向原点移动时，图像无限接近轴右侧轴的正半轴，向原点移动时无限接近轴上方轴的正半轴。

示例:

1.已知A >；0，a 0，函数y=ax，y=loga(-x)的图像只能是()。

2.计算:①；② = ;= ;

③ =

3.函数y=log (2x2-3x+1)的递减区间为

4.如果区间中函数的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知得到(1)的定义域和(2)的取值范围。

第三章功能应用

首先，方程的根和函数的零点

1，函数零点的概念:对于一个函数，使其为真的实数称为函数的零点。

2.函数零点的意义:函数的零点是方程的实根，即函数的像与轴的交点的横坐标。

即方程实根函数的图像与轴有交点，函数有零点。

3、零点溶液的作用:

○1(代数法)求方程的实根；

○2(几何方法)对于不能用求根公式求解的方程，可以和函数的图像联系起来，利用函数的性质找到零点。

4.二次函数的零点:

二次函数。

(1) △ > 0，方程有两个不相等的实根，二次函数的像与轴有两个交点，二次函数有两个零点。

(2) △ = 0，方程有两个相等的实根，二次函数的像与轴有交点，二次函数有双零或二阶零。

(3) △ < 0，方程无实根，二次函数的像与轴无交点，二次函数无零点。

5.功能模型

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