一道高中数学导数题

已知函数f(X)=(1/3 )x？-[(a+1)/2] x？+bx+a (a，b属于r)，其导函数f'(x)的像经过原点。

(1)当a=1时，求函数f(x)在x=3处的像的正切方程。

(2)若X < 0，使f '(x) =-9，求a的最大值.

(3)当a >时；0，确定函数f(x)的零点个数

解:当(1)a=1时，f(x)=(1/3)x？-x？+bx+1，其导函数f'(x)=x？-2x+b的像经过原点，所以b=0，所以:

f(x)=(1/3)x？-x？+1，f′(x)= x？-2x；F(3)=1，f′(3)= 9-6 = 3，所以x=3时的正切回报为:y=3(x-3)+1=3x-8。

(2).如果X < 0使得f′(X)= X？-(a+1)x=-9，也就是方程x？-(a+1)x+9=0有负根，让另外两个根是x？，x？，因为x？x？= 9 & gt0，所以x？，x？都是负根，也就是有x？+x？= a+1 & lt；0，所以a

δ=(a+1)？-36≧0，(a+1)？⊙36，考虑a

(3).当a & gt0，设f(x)=(1/3 )x？-[(a+1)/2] x？+a=0.................................(1)

又让f'(x)=x？-(a+1)x = x[x-(a+1)]= 0，那么驻点x？=0，x？= a+1；因为a & gt0，所以x？≠x？，所以有两个不同的驻点，f”(x)= 2x-(a+1)，f”(x？)= f ″( 0)=-(a+1)& lt；0，所以x？=0是最大点，maxf(x)= f(0)= a & gt；0;

f ”( x？)= f ”( a+1)= 2(a+1)-(a+1)= a+1 & gt；0，所以x？=a+1是极小点，minf(x)= f(a+1)=-[(a+1)？/6]+a

=[6a-(a+1)？]/6;当x : 0时，即f(x)在区间(-∞，0)∩(a+1，+∞)上单调递增；当...的时候

0 & ltx & ltf′(x)< 0，即f(x)在区间(0，a+1)上单调递减。因此，当最大值和最小值具有不同的符号时，有三个f(x)。

零点；同一个符号里有一两个零。已知最大值= a & gt0，所以f(x)的零点个数取决于minf(x)=f(a+1)。

的符号和大小。当a=√2-1，6a-(a+1)？=6(√2-1)-(√2)?=2.48528-2.82842 >0，即minf(x)>0,

所以此时f(x)的最大值与最小值符号相同，f(x)只有一个零点；当6a-(a+1)？当=0时(此时a的精确值很难找到)，f(x)有两个零；当6a-(a+1)？& lt在0处，f(x)有三个零。