高中数学归纳法的解题过程
自然数
与n有关的命题的一种特殊方法,主要用来研究
正整数
高中数学中经常用到相关的数学问题来证明等式的成立和数列的通项公式。
(一)第一次数学归纳法:
一般来说,要证明一个命题p(n)与自然数n有关,有以下步骤:
(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0的值一般数列为0或1,但也有一些特殊情况。
(2)假设当n=k时(
K≥n0,k为自然数。
)证明了当n=k+1时命题成立。
综合(1)(2),命题p(n)对所有自然数n(≥n0)成立。
(二)第二种数学归纳法:
对于一个与自然数有关的命题p(n),
(1)验证当n=n0时p(n)成立;
(2)假设n0 ≤ n
综合(1)(2),命题p(n)对所有自然数n(≥n0)成立。
(3)逆向归纳(Backward induction):
(1)验证命题p(n)对无穷多个自然数成立(无穷多个自然数可以是无穷序列中的数,如对算术几何不等式的证明为2 k,k≥1);
(2)假设p(k+1)(k≥n0)成立,并在此基础上推导出p(k)成立。
综合(1)(2),命题p(n)对所有自然数n(≥n0)成立;
螺旋归纳
对于与自然数有关的两个命题p(n),q(n),
(1)验证当n=n0时p(n)成立;
(2)假设p(k)(k >;N0)成立,并且可以推导出q(k)成立,假设
Q(k)成立,可以推导出来。
P(k+1)持有;
合成(1)(2)适用于所有自然数n(≥n0)、p(n)和q(n)。
数学归纳法的变体正在被应用,而数学归纳法往往需要采取一些变化来满足实际需要。以下是数学归纳法的一些常见变体。
以非0的数字开始。
如果我们要证明的命题不是针对所有自然数,而只是针对所有大于等于某个数b的自然数,那么证明的步骤需要修改如下:
第一步,证明n = b时命题成立。
第二步,证明如果n=m(m≥b)成立,那么可以推导出n=m+1也成立。
这样就可以证明,当n≥3时,N2 >;2n”这种命题。
仅适用于偶数或仅适用于奇数。
如果我们要证明的命题不是针对所有自然数,而只是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要修改如下:
奇怪的方面:
第一步,证明n=1时命题成立。
第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。
甚至方面:
第一步,证明n=0或2时命题成立。
第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。
递减归纳
数学归纳法不仅可以应用于“对任意n”这样的命题。对于形式为“对于任何n=0,1,2,...,m”,如果一般的n比较复杂,n=m比较容易验证,我们可以实现从k到k-1的递归,k=1,...,m,那我们就