总结整理初中奥林匹克数学恒等式变形的知识点

恒等的概念是，对于两个代数，如果两个代数中的字母用任意值代替，并且两个代数的值相等，则称这两个代数是恒等的。

表示两个代数表达式相同的方程称为一个等式。

如:a+b = b+ a；2x+5x=7x是恒等式，但t2+6=5t和x+7=4不是恒等式。之前学的运算法则都是恒等式。

用一个代数表达式替换另一个与之相同的代数表达式，称为恒等式变形(或恒等式变换)。

在恒等式变形的意义上，只是把一个代数表达式从一种形式变成另一种形式，但有一个条件，变形前后的两个代数表达式是恒等式，即“形”变“值”不变。

如何判断一个方程是否是恒等式，通常有两种判断多项式恒等式的方法。

1.如果两个多项式的同项系数相等，那么这两个多项式是相同的。

比如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然是相同的，因为这两个多项式是一样的。

另一方面，如果两个多项式相同，那么它们的齐次项的系数也相等(两个多项式常数项也视为齐次项)。

2.通过一系列相同的变形，证明了两个多项式是相同的。

比如ax2+bx+c=px2+qx+r是一个恒等式，那么一定有:a=p，b=q，C = R。

例:求B和C的值，使以下恒等式成立。

x2+3x+2 =(x-1)2+b(x-1)+c①

解1: ∵ ①是一个恒等式，对x的任意值都成立。

设x=1，代入①得到

12+3×1+2 =(1-1)2+b(1-1)+c

c=6

设x=2，代入①。由于已经得到c=6，所以有

22+3×2+2 =(2-1)2+b(2-1)+6

b=5

∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6

解决方案2:扩展右侧。

x2+3x+2 =(x-1)2+b(x-1)+c

=x2-2x+1+bx-b+c

=x2+(b-2)x+(1-b+c)

比较两边相同项的系数，得到

从②中B=5。

将b=5代入③。

1-5+c=2

c=6

∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6

这个问题是根据x-1的幂展开多项式x2+3x+2。这种方法叫做待定系数法。它假设一个具有待定系数的恒等式，比如上面例子中的B和C。然后根据恒等式的含义或性质，列出B和C应适用的条件，进而计算待定系数值。